Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

Χαρά Χαραλάμπους Hara Charalambous

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

Ακ. Έτος 2014-2015

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο Χρήσιμο Υλικό

Γενικές Πληροφορίες

Διδάσκουσα: Καθ. Χαρά Χαραλάμπους Email: hara@math.auth.gr, http://users.auth.gr/hara/ Γραφείο: ΣΘΕ, 3ος όροφος, #7 Τηλ.: 2310-997934 Ώρες Διαλέξεων: Τμήμα B Δευτέρα 4-5 Δ11 Τρίτη 5-6 Τετάρτη 5-6, (Δ31), Τμήμα A Τρίτη 11-1 (Δ31) Τετάρτη 10-11(Δ21), Ώρες Συνεργασίας: Δευτέρα 2-4 (Μ0), Τρίτη 10-11

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ασκήσεις Ηλεκτρονικές σημειώσεις

Περιγραφή

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει τα εξής θέματα:

Δακτύλιοι, Σώματα, Ακέραιες περιοχές, Υποδακτύλιοι και ομομορφισμοί δακτυλίων, Ιδεώδη και πράξεις ιδεωδών, Διαιρετότητα, MΚΔ, ΕΚΠ, Ευθέα γινόμενα δακτυλίων, Θεώρημα υπολοίπων του κινέζου, Ευκλείδιοι δακτύλιοι, πρώτα και ανάγωγα στοιχεία, ΔΚΙ, ΔΜΑ, Δακτύλιοι πολυωνύμων, Ανάγωγα πολυώνυμα πάνω από το Q,R,C, αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία, Αλγεβρικές επεκτάσεις, ελάχιστο πολυώνυμο στοιχείου και κατασκευή σωμάτων.

Αξιολόγηση Μαθήματος

Οι φοιτητές θα πρέπει να ελέγχουν τακτικά την ιστοσελίδα του μαθήματος για τυχόν αλλαγές στις ημερομηνίες και άλλες πληροφορίες. Η αντιγραφή θα τιμωρείται με αποκλεισμό από τις εξετάσεις.

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις

· Για τη τελική βαθμολογία επισκεφτείτε τη σελίδα του μαθήματος στο elearning.auth.gr . Για τα θέματα του Ιουνίου και τις λύσεις τους μπορείτε να επιλέξετε τον σύνδεσμο θέματα Ιουνίου 2015. Μπορείτε να δείτε το γραπτό σας, τη Τετάρτη, 1^η Ιουλίου 2015, 10:30-13:30.

· Ευχαριστώ ιδιαίτερα τις κυρίες Αφροδίτη Ατματσίδου και Τσολακίδου Ελισάβετ, για τη σημαντική βοήθεια που προσέφεραν για την ενεργοποίηση και το στήσιμο της σελίδας στο elearning.auth.gr

· Ώρες συνεργασίας: Πέμπτη 11.6.2015, 11:30-2

· Στη σελίδα του elearning, έχει αναρτηθεί το τελικό quiz με τίτλο Ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης. Το κουίζ θα κλείσει στις 13 Ιουνίου στις 8:00πμ. Η διάρκειά του είναι 30 λεπτά.

Επαναληπτικό μάθημα, Πέμπτη 28.5.15 3-5 μμ στη Δ21.

Θέματα Προηγουμένων Ετών

Στη σελίδα του μαθήματος στο elearning.auth.gr θα βρείτε και το κουίζ2. Η προθεσμία είναι μέχρι την Κυριακή 26.4.15 και έχετε 3 προσπάθειες.

Επισκεφτείτε το μάθημα στη σελίδα του elearning.auth.gr και στη δραστηριότητα Κουιζ δοκιμάστε τον σύνδεσμο Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής ενότητα 1, (μπορείτε να δοκιμάσετε το κουίζ όσες φορές επιθυμείτε).

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ημερολόγιο Μαθήματος

Ημερομηνία	Ύλη Εβδομάδας
16.2.15-25.2.15	Εισαγωγή σε δακτυλίους και σώματα, ομομορφισμοί, παραδείγματα
2.3.15-4.3.15	Ακεραίες περιοχές, χαρακτηριστική
9.3.15-11.3.15	Εμφύτευση δακτυλίων σε δακτύλιο με μονάδα, Fermat και αριθμός ριζων του πολυωνύμου xⁿ-1, κατασκευή σώματος κλασμάτων για μία ακεραία περιοχή
	Ασκήσεις: να βρείτε τις κλάσεις ισοδυναμίας στο D X D^* όπου D=Z₇ , Να βρείτε τον αριθμό των ριζών του xⁿ-1 στο Z₁₁ όταν n=3,4,5,15
16.3.15-18.3.15	Ιδιότητες Σώματος κλασμάτων, ο δακτύλιος R[a], εισαγωγή σε σχηματικές σειρές και δακτυλίους πολυωνύμων
	Ασκήσεις: να δείξετε ότι αν D είναι ακεραία περιοχή, F σώμα, φ: DàF εμφύτευση τότε φ(1_D)=1_F , να δείξετε ότι Q[2^{1/2}] δεν είναι ισόμορφος δακτύλιος με τον Q[5^{1/2}], να δείξετε ότι Q[2^{1/2}] είναι σώμα και ότι είναι ισόμορφο με το σώμα κλασμάτων του Ζ[2^{1/2}]
23.3.15-24.3.15	Δακτύλιος πολυωνύμων R[x] (υποδακτύλιος του R[[x]]), ομομορφισμός εκτίμησης φ_b : R[x]àF όπου b στοιχείο του F, b ρίζα του f(x) αν και μόνο αν f(x) ανήκει στον ker (φ_b), Ευκλείδειος αλγόριθμος για πολυώνυμα, παραδείγματα.
	Ασκήσεις: να βρείτε έξι στοιχεία του πυρήνα του φ₇ : Q[x]àR, να βρείτε ένα πολυώνυμο βαθμού >0 στο Ζ₄[x] που να είναι αντιστρέψιμο, να δείξετε ότι αν D είναι ακεραία περιοχή τότε D[x] είναι ακεραία περιοχή, να διαιρέσετε τα f(x)= x⁴+5x³-3x² με το g(x)=5x²-x+2 στον Ζ₁₁[x], να βρείτε μία ρίζα b για το πολυώνυμο x⁴+4 στον Ζ₅[x] και στη συνέχεια να διαιρέσετε το x⁴+4 με το x-b συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο έως ότου φτάσετε να αναλύσετε το x⁴+4 σε γραμμικούς παράγοντες στο Ζ₅[x].
30.3.15-1.4.15	b ρίζα του f(x) αν και μόνο αν x-b διαιρεί το f(x). Ανάγωγα στοιχεία ενός δακτυλίου, ανάγωγα στοιχεία στον δακτύλιο F[x] όπου F σώμα, ανάγωγα πολυώνυμα στον C[x] και στον R[x]
	Ασκήσεις: να βρείτε τους ανάγωγους παράγοντες του x⁴+1 στον Z₂[x], C[x], R[x], να βρείτε όλα τα ανάγωγα πολυώνυμα στο Z₂[x] βαθμού έως και 4, να μετρήσετε τα πολυώνυμα βαθμού 2 στον Z_p[x], όπου p πρώτος---στη συνέχεια να βρείτε τα μη ανάγωγα πολυώνυμα βαθμού 2 στον Z_p[x] και να καταλήξετε ότι πάντα υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού 2 στον Z_p[x], να δείξετε ότι το πολυώνυμο x¹⁰¹ + 7 δεν είναι ανάγωγο στον Z₁₀₁[x]
20.4.15-22.4.15	Κυκλοτομικό πολυώνυμο, κριτήριο του Eisenstein, ανάγωγοι παράγοντες του xⁿ-b στον C[x], R[x], Q[x]

	Ασκήσεις: να βρείτε τους ανάγωγους παράγοντες του x¹²-2 στον Q[x], C[x], R[x], Να δείξετε ότι x⁴-22x²+1 είναι ανάγωγο πάνω από το Q, να δείξετε ότι x⁵+17x²+35 είναι ανάγωγο στον Q[x] δείχνοντας πρώτα ότι x⁵+ x²+1 είναι ανάγωγο στο Z₂, να δείξετε ότι στο Q[x] υπάρχουν πολυώνυμα f(x) και g(x) έτσι ώστε 1=f(x) (x²+2)+ g(x) (x⁵-3) και να συμπεράνετε ότι κάθε πολυώνυμο h(x) γράφεται ως συνδυασμός των x²+2 και x⁵-3.
27.4.15-29.4.15
	Ευκλείδειος αλγόριθμος για κοινό διαιρέτη στο F[x], Διαιρέτες αναγώγου πολυωνύμου στο F[x], αν p(x) ανάγωγο και διαιρεί q(x)h(x) τότε διαιρεί ένα από τα δύο, γενίκευση για το γινόμενο n πολυωνύμων, κάθε πολυώνυμο έχει μία ανάλυση σε ανάγωγα πολυώνυμα, ο δακτύλιος F[x], είναι δακτύλιος μοναδικής παραγοντοποίησης, ker φ=<x²-2> όπου φ ο ομομορφισμός εκτίμησης Q[x] à Q[2^{1/2}]. Έστω φ: Z[x]àZ₅[x] όπου a_nxⁿ+…+a₁x+a₀à [a_n]₅xⁿ+…+[a₁]₅x+[a₀]₅ ---τότε ker φ=< 5>. Έστω ψ: Z[x]àZ₅[x] όπου a_nxⁿ+…+a₁x+a₀à [a₀]₅, ker ψ=< 5, x>. Ορισμός ιδεώδους, παραδείγματα. Ο δακτύλιος των τετραγωνικών πινάκων πάνω από ένα σώμα έχει μονάχα ένα γνήσιο ιδεώδες, το μηδενικό. Τα ιδεώδη του Z. Ta ιδεώδη ενός σώματος.
	Ασκήσεις 7
4.5.15-7.5.15	Αν Ι είναι προσθετική υποομάδα του R, τοτε Ι είναι κανονική υποομάδα και η πρόσθεση (a+I)+(b+I)=a+b +I είναι καλά ορισμένη. Ο πολλαπλασιασμός (a+Ι)(b+I)=ab+I είναι καλά ορισμένη αν και μόνο αν Ι είναι ιδεώδες. Παραδείγματα: Η={ mx: m ακέραιος} δεν είναι ιδεώδες του Z[x] και ο παραπάνω πολλαπλ. στο Ζ[x]/H δεν είναι καλά ορισμένος. Αντίστοιχα Z δεν είναι ιδεώδες του Q και ο παραπάνω πολλαπλ. στο Q/Z δεν είναι καλά ορισμένος. Ο δακτύλιος Z₂[x]/<x²+1> έχει 4 στοιχεία. Πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στο Z₂[x]/<x²+1>. Αν Ι είναι ιδεώδες του δακτυλίου R τότε R/I είναι δακτύλιος. Θεμελιώδες Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων. Παράδειγμα: το ιδεώδες <x³+x²-2, x²-x> =<2x-2>=<x-1>=<5x-5> στο Q[x]. Αν F είναι σώμα, τότε κάθε ιδεώδες του F[x] είναι κύριο. Παράδειγμα: <x,2> δεν είναι κύριο στο Z[x]. Ορισμός: ένα ιδεώδες Ι είναι πρώτο στο R αν R/I είναι ακ. περιοχή, ένα ιδεώδες Ι είναι μέγιστο στο R αν R/I είναι σώμα. Κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι και πρώτο αλλά όχι αντίστροφα. Παραδείγματα: <x> πρώτο στο Z[x] αφού Z[x]/<x> ισόμορφο με Z.
	Ασκήσεις 8
11.5.15-12.5.15	Χαρακτηρισμός πρώτων ιδεωδών, πρώτα ιδεώδη στον F[x] όπου F σώμα, Χαρακτηρισμός μέγιστων ιδεωδών, Παραδείγματα.
	Ασκήσεις 9
18.5.15-20.5.15	Αν D είναι Π.Κ.Ι και p ανάγωγο, τότε <p> μέγιστο ιδεώδες. Ακέραια, υπερβατικά στοιχεία. Αν D είναι Π.Κ.Ι τότε κάθε στοιχείο γράφεται ως γινόμενο αναγώγων. Αν D είναι Π.Κ.Ι και p ανάγωγο διαιρεί γινόμενο a₁…a_ν τότε p διαιρεί κάποιο a_ι. Αν D είναι Π.Κ.Ι τότε D[x] είναι Π.M.A. Ο δακτύλιος Z[i 5^{1/2] δεν είναι Π.Μ.Α. Ιδεώδη του δακτυλίου R/I.
	Ασκήσεις 10
25.5.15-28.5.15	Πρωταρχικά πολυώνυμα. Λήμμα του Gauss. Αν c στοιχείο του D και c ανάγωγο στο D τότε c ανάγωγο στο D[x]. Αν D είναι Π.Μ.Α., Κ το σώμα κλασμάτων του D και f(x) πρωταρχικό πολυώνυμο του D[x] τότε f(x) ανάγωγο στο D[x] αν και μόνο αν f(x) ανάγωγο στο K[x]. Αν D είναι Π.Μ.Α. τότε D[x] είναι Π.M.A. Λύσεις ασκήσεων από Ασκήσεις 10. Λύσεις ασκήσεων από Θέματα Προηγουμένων Ετών