2.2. Απόσταση σημείου από ευθεία – Κανονική εξίσωση ευθείας
Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε ευθεία , , και σημείο . Θεωρούμε ακόμη ευθεία , που διέρχεται από το και είναι κάθετη επί την . Η ευθεία τέμνει την σε ακριβώς ένα σημείο .
Ορισμός 30. Το σημείο ονομάζεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή του σημείου πάνω στην ευθεία .
(2.8) .
Πράγματι: Ας είναι η ορθή προβολή του πάνω στην ευθεία . Το διάνυσμα είναι κάθετο στην , όπως και το διάνυσμα . Άρα , ώστε ή, ισοδύναμα,
(2.9) , .
Επί πλέον, ισχύει
(2.10) .
Επειδή όμως το ανήκει στην , είναι , απ’ όπου σε συνδυασμό με τη (2.9), προκύπτει
.
Επομένως
.
Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή του στην (2.10), παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση.
Παράδειγμα 16. Να βρεθεί το ύψος, που
αντιστοιχεί στην πλευρά του παραδείγματος 12.
Λύση. Αρκεί να βρούμε την απόσταση της κορυφής από την πλευρά : . Σύμφωνα όμως με τον τύπο (2.8) έχουμε
.
Παρατήρηση 13. Η απόσταση της αρχής του συστήματος συντεταγμένων από την ευθεία , προκύπτει αμέσως, αν στη σχέση (2.8) θέσουμε . Είναι
.
Ας είναι τώρα η προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων και . Ισχύει
(2.11) , , .
Εξάλλου, από την αναλυτική εξίσωση της , διαιρώντας κατά μέλη με , προκύπτει
και, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (2.11) και την παρατήρηση 13,
(2.12) ,
όπου είναι η προσημασμένη απόσταση της αρχής από την .
Ορισμός 32. Η εξίσωση (2.12) ονομάζεται κανονική μορφή της εξίσωσης της ευθείας ή μορφή του Hesse.
O σταθερός όρος στην εξίσωση της ευθείας μπορεί να γίνει πάντα θετικός. Στην περίπτωση
αυτή, οι παράμετροι μπορούν να θεωρηθούν ως πολικές
συντεταγμένες της ορθής προβολής της αρχής πάνω στην ,
ως προς το πολικό σύστημα, που έχει πόλο το σημείο και πολικό άξονα την ημιευθεία .
Παράδειγμα 17. Η κανονική μορφή της εξίσωσης της ευθείας , προκύπτει αν διαιρέσουμε κατά μέλη με . Άρα είναι:
.
Προφανώς ,
,
οπότε και .