1.7. Πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο
Θεωρούμε ένα θετικά προσανατολισμένο, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου και τυχόν σημείο . Συμβολίζουμε με την απόσταση του σημείου από την αρχή και με την προσανατολισμένη γωνία των διατεταγμένων διανυσμάτων . Aντιστοιχίζουμε στο σημείο το ζεύγος των πραγματικών αριθμών ( , ) για τους οποίους προφανώς ισχύει
(1.27) 0< < ,
.
Αν είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου
ως προς το σύστημα ισχύει
και
, .
Ώστε
.
Σε κάθε σημείο αντιστοιχίζεται ακριβώς ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών ( , ) και σε κάθε ζεύγος ( , ), που ικανοποιεί τους περιορισμούς (1.27), αντιστοιχεί ακριβώς ένα σημείο του .
Ορισμός 28. Οι αριθμοί και ονομάζονται πολικές συντεταγμένες του σημείου . Το ονομάζεται πολική απόσταση και το πολική γωνία ή όρισμα του σημείου .
Το ζεύγος που αποτελείται από το σημείο και την ημιευθεία ονομάζεται πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το σημείο και πολικό άξονα την ημιευθεία .
Παράδειγμα 10. Στο ευκλείδειο επίπεδου θεωρούμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και σημείο . Ζητούνται:
(α) Οι πολικές συντεταγμένες του ως προς το πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το και πολικό άξονα την ημιευθεία .
(β) Οι σχέσεις μεταξύ των καρτεσιανών και των πολικών συντεταγμένων τυχόντος σημείου ως προς το πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το και πολικό άξονα την ημιευθεία . Ποιες είναι οι πολικές συντεταγμένες του ως προς αυτό το πολικό σύστημα συντεταγμένων;
Λύση. (α) Είναι
,
, .
Έτσι και οι ζητούμενες πολικές συντεταγμένες του Α είναι .
(β) Ας είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου .
Ισχύει
.
Εξάλλου, το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της ημιευθείας . Επομένως είναι
(1.28) ,
(1.29) .
Με αφαίρεση και πρόσθεση διαδοχικά
κατά μέλη, βρίσκουμε
,
.
Για τις πολικές συντεταγμένες του έχουμε
και θέτoντας στις (1.28), (1.29), παίρνουμε
,
δηλαδή .