1.7. Πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο

 

   Θεωρούμε ένα θετικά προσανατολισμένο, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων  του ευκλείδειου επιπέδου  και τυχόν σημείο . Συμβολίζουμε με  την απόσταση του σημείου  από  την αρχή  και με  την προσανατολισμένη γωνία των διατεταγμένων διανυσμάτων  . Aντιστοιχίζουμε στο σημείο  το ζεύγος των πραγματικών αριθμών ( ,  ) για τους οποίους προφανώς ισχύει

 

(1.27)               0<  < ,   .

 

Αν  είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου  ως προς το σύστημα  ισχύει

 

 

και

,   .

 

Ώστε

 

                        .

 

Σε κάθε σημείο  αντιστοιχίζεται ακριβώς ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών ( ,  ) και σε κάθε ζεύγος ( ,  ), που ικανοποιεί τους περιορισμούς (1.27), αντιστοιχεί ακριβώς ένα σημείο  του .

 

Ορισμός 28. Οι αριθμοί  και  ονομάζονται πολικές συντεταγμένες του σημείου . Το  ονομάζεται πολική απόσταση και το  πολική γωνία ή όρισμα του σημείου .

   Το ζεύγος που αποτελείται από το σημείο  και την ημιευθεία  ονομάζεται πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το σημείο  και πολικό άξονα την ημιευθεία .

 

Παράδειγμα 10. Στο ευκλείδειο επίπεδου  θεωρούμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων  και σημείο . Ζητούνται:

(α) Οι πολικές συντεταγμένες  του  ως προς το πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το  και πολικό άξονα την ημιευθεία .

(β) Οι σχέσεις μεταξύ των καρτεσιανών και των πολικών συντεταγμένων  τυχόντος σημείου  ως προς το πολικό σύστημα συντεταγμένων με πόλο το  και πολικό άξονα την ημιευθεία . Ποιες είναι οι πολικές συντεταγμένες του  ως προς αυτό το πολικό σύστημα συντεταγμένων;

Λύση. (α) Είναι

 

,

 

,   .

 

Έτσι  και οι ζητούμενες πολικές συντεταγμένες του Α είναι .

(β) Ας είναι  οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου . Ισχύει

 

.

 

Εξάλλου, το διάνυσμα  καθορίζει την κατεύθυνση της ημιευθείας . Επομένως είναι

 

(1.28)               ,

 

(1.29)               .

 

Με αφαίρεση και πρόσθεση διαδοχικά κατά μέλη, βρίσκουμε

 

, .

 

Για τις πολικές συντεταγμένες  του  έχουμε

 

 

και θέτoντας  στις (1.28), (1.29), παίρνουμε

 

,

 

δηλαδή .