1.4. Eυκλείδειος σημειακός χώρος - Απόσταση δυο σημείων
Ορισμός 13. Κάθε ομοπαραλληλικός σημειακός χώρος του οποίου ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος είναι ευκλείδειος,
ονομάζεται - διάστατος ευκλείδειος
σημειακός χώρος.
Ορισμός 14. Σ’ έναν - διάστατο ευκλείδειο σημειακό χώρο ονομάζουμε απόσταση δύο σημείων τον αριθμό
(1.17) .
Για
τυχόντα σημεία ισχύει
(α) .
Η ισότητα ισχύει ακριβώς τότε, όταν .
(β) .
(γ) . Η ισότητα ισχύει ακριβώς τότε, όταν είναι συνευθειακά και το σημείο βρίσκεται μεταξύ των .
Ορισμός 15. Κάθε μονοδιάστατος ευκλείδειος σημειακός χώρος ονομάζεται ευκλείδεια ευθεία και κάθε διδιάστατος ευκλείδειος
σημειακός χώρος ευκλείδειο επίπεδο.
Συνήθως συμβολίζουμε την ευθεία με μικρά γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου.
Παρατήρηση 6. Eίναι γνωστό ότι ένας ομοπαραλληλικός σημειακός χώρος είναι δυνατόν να οριστεί, όταν γνωρίζουμε ένα σημείο του και τον αντίστοιχο διανυσματικό του χώρο ή ισοδύναμα, όταν γνωρίζουμε ένα σημείο του και μία βάση του αντίστοιχου διανυσματικού του χώρου.
Έτσι, για να οριστεί ένα επίπεδο , αρκεί να γνωρίζουμε ένα σημείο αυτού και μία βάση του αντίστοιχου διανυσματικού του χώρου , δηλαδή δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του .
Όμοια, για να οριστεί μια ευθεία ε, αρκεί να είναι γνωστά ένα σημείο της και ένα μη μηδενικό διάνυσμα του αντίστοιχου διανυσματικού της χώρου .
Στα
επόμενα κεφάλαια, αφού ορίσουμε κατάλληλα συστήματα συντεταγμένων, θα μελετήσουμε
την ευθεία στο ευκλείδειο επίπεδο και στο χώρο και το επίπεδο στο χώρο .
Για να διευκολύνουμε τη μελέτη αυτή παραθέτουμε μερικούς πολύ χρήσιμους ορισμούς.
Τότε λέμε ότι και το επίπεδο (ή η ευθεία) είναι παράλληλο (ή παράλληλη) προς το διάνυσμα .
Ορισμός 20. Ένα διάνυσμα ονομάζεται κάθετο σ’ ένα επίπεδο (ή μια ευθεία), όταν είναι κάθετο σε κάθε διάνυσμα του αντίστοιχου διανυσματικού χώρου του επιπέδου (ή της ευθείας), δηλαδή, όταν είναι κάθετο σε κάθε διάνυσμα παράλληλο προς το επίπεδο (ή την ευθεία).
Τότε
λέμε ότι και το επίπεδο (ή η ευθεία) είναι κάθετο
(ή κάθετη) στο διάνυσμα .