2.1. Εξισώσεις ευθείας στο ευκλείδειο επίπεδο
Ας είναι ένα ορθογώνιο,
θετικά προσανατολισμένο
σύστημα συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου 
και η ορθομοναδιαία βάση του που αντιστοιχεί στο .
(Α) Εξισώσεις ευθείας που ορίζεται από ένα σημείο και ένα μη μηδενικό διάνυσμα
Θεωρούμε ευθεία , που διέρχεται από το σημείο και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα . Συμβολίζουμε με τυχόν σημείο της και τις διανυσματικές ακτίνες των σημείων αντίστοιχα. Τότε οι εξισώσεις της ευθείας είναι:
(α) Διανυσματική εξίσωση:
(2.1) , , .
(2.2) , , , 
.
(γ) Αναλυτική εξίσωση (ή απλά εξίσωση):
(2.3) , .
Η (2.3) προκύπτει με απαλοιφή του από τις (2.2). (i) Αν , είναι
(2.4) ,
οπότε , , .
(ii) Αν (ή ), οπότε (ή ), η (2.3) παίρνει τη μορφή
(2.5) (ή ).
Παρατήρηση 11. Είναι φανερό, ότι στην περίπτωση (i) το
διάνυσμα είναι παράλληλο προς την .
Στις περιπτώσεις (ii) το είναι παράλληλο προς τα διανύσματα ή .
Οι δε εξισώσεις (2.5) έχουν τη μορφή της (2.3),
αν θέσουμε ,
,
ή ,
,
.
Επομένως και πάλι το διάνυσμα είναι παράλληλο προς την .
Παρατήρηση 12. Η
αναλυτική εξίσωση μιας ευθείας :
,
,
δεν είναι μονότιμα ορισμένη. Κάθε εξίσωση της μορφής ,
, είναι ισοδύναμη προς αυτή.
Παράδειγμα 11. Ως προς ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται σημείο και διάνυσμα . Να βρεθούν η διανυσματική, η αναλυτική και οι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας , που διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς το .
Λύση. Από την (2.1) προκύπτει αμέσως η διανυσματική εξίσωση της :
, .
Συνεπώς οι παραμετρικές της εξισώσεις είναι
, .
Τέλος, λύνοντας την πρώτη των παραμετρικών εξισώσεων ως προς και αντικαθιστώντας στη δεύτερη, παίρνουμε την αναλυτική εξίσωση της :
.
(Β) Εξισώσεις ευθείας που ορίζεται από δύο διάφορα σημεία
Ας είναι , δύο διάφορα σημεία ευθείας . Το διάνυσμα είναι μη μηδενικό και παράλληλο προς την . Άρα οι εξισώσεις της ορίζονται ως εξής:
(α) Διανυσματική εξίσωση:
, .
(β) Παραμετρικές εξισώσεις:
, , .
(γ) Αναλυτική εξίσωση (ή απλά εξίσωση):
(2.6)
ή, όταν ορίζονται τα κλάσματα,
.
Παράδειγμα 12. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία , , . Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις των ευθειών της πλευράς και της διαμέσου .
Λύση. Η εξίσωση της πλευράς είναι από την (2.6):
.
Εξάλλου, η διάμεσος ορίζεται από τα σημεία και , όπου είναι το μέσο των σημείων . Δηλαδή
.
΄Ετσι, βρίσκουμε ότι η ζητούμενη αναλυτική της εξίσωση είναι
.
Παράδειγμα 13. Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις των αξόνων του .
Λύση. Ο άξονας ορίζεται από τα σημεία και . Άρα από την (2.6) παίρνουμε
.
Ανάλογα προκύπτει ότι η εξίσωση του άξονα είναι .
(Γ) Εξίσωση ευθείας που ορίζεται από ένα σημείο και ένα μη μηδενικό διάνυσμα
κάθετο σ’ αυτή
Ας είναι ,
,
η αναλυτική εξίσωση ευθείας .
Όπως διαπιστώσαμε στην παρατήρηση 11, το διάνυσμα είναι παράλληλο προς την .
Το διάνυσμα ,
είναι κάθετο στο ,
αφού .
Άρα:
Το διάνυσμα είναι κάθετο στην .
Αντίστροφα, όταν δίνεται διάνυσμα , κάθετο σε ευθεία και σημείο , που ανήκει σ’ αυτή, η αναλυτική εξίσωση της έχει τη μορφή
, , όπου .
Παράδειγμα 14. Θεωρούμε το τρίγωνο του παραδείγματος 12. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας του ύψους που αντιστοιχεί στην πλευρά .
Λύση. Το διάνυσμα είναι κάθετο στην ευθεία . Άρα η αναλυτική της εξίσωση έχει τη μορφή . Επειδή δε το σημείο ανήκει σ’ αυτή, είναι . Ώστε, η ευθεία ταυτίζεται με τον άξονα .
(Δ) Εξίσωση ευθείας με χρήση του συντελεστή διεύθυνσης αυτής
Θεωρούμε την ευθεία , , και ονομάζουμε τη γωνία των διανυσμάτων και . Από τις σχέσεις (1.9) βρίσκουμε
, , ,
απ’ όπου είναι .
Ορισμός 29. Ο αριθμός ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας . Ο συντελεστής διεύθυνσης μπορεί να πάρει και την τιμή .
Όταν είναι , η αναλυτική εξίσωση της ευθείας ορίζεται μονότιμα με χρήση του συντελεστή διεύθυνσης ως εξής:
(2.7) .
Αν είναι αντίστοιχα οι συντελεστές διεύθυνσης δύο τέτοιων ευθειών , ισχύει:
παράλληλες ,
κάθετες .
Παράδειγμα 15. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας της διαμέσου στο παράδειγμα 12 είναι . Κάθε ευθεία κάθετη σ’ αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης . Άρα η αναλυτική εξίσωση της θα έχει τη μορφή
.