1.2. Προσανατολισμός διανυσματικού χώρου
Aς είναι το σύνολο των διατεταγμένων βάσεων ενός τρισδιάστατου και μια διατεταγμένη βάση του. Τα διανύσματα , , κάθε άλλης βάσης { } είναι δυνατό να εκφραστούν ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της . Δηλαδή, υπάρχουν , , έτσι ώστε
,
, .
,
Ορισμός 8. Η βάση ονομάζεται ισοδύναμη με τη
βάση ( ), όταν η ορίζουσα των διανυσμάτων της ως προς
τη βάση Β είναι θετική. Ισχύει δηλαδή
.
Η σχέση « » του oρισμού 8 είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, άρα και σχέση
ισοδυναμίας. Έτσι, από το σύνολο των βάσεων προκύπτουν δύο κλάσεις ισοδυναμίας .
Στη
μία κλάση, π.χ. τη ,
ανήκουν όλες οι βάσεις του που είναι ισοδύναμες με τη ,
δηλαδή η ορίζουσά τους ως προς τη είναι θετική. Στην άλλη, όλες οι βάσεις που
έχουν αρνητική ορίζουσα ως προς τη ,
δηλαδή δεν είναι ισοδύναμες μ’ αυτή. Επειδή
τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, ισχύει .
Κάθε βάση που ανήκει στο θετικό προσανατολισμό (αντ. αρνητικό) ονομάζεται θετικά (αντ. αρνητικά) προσανατολισμένη.
Το ζεύγος ( ,
) ονομάζεται προσανατολισμένος διανυσματικός χώρος.
Συνήθως, για να προσανατολίσουμε έναν τρισδιάστατο
διανυσματικό χώρο θεωρούμε αυθαίρετα μια διατεταγμένη βάση και την ονομάζουμε θετικά προσανατολισμένη. Κάθε
άλλη βάση λέμε ότι είναι θετικά προσανατολισμένη, αν >0 και αρνητικά προσανατολισμένη, αν
<0.
Ανάλογα εργαζόμαστε για τον προσανατoλισμό των διανυσματικών χώρων και .
Ορισμός 10. Ας είναι ένας προσανατολισμένος ευκλείδειος
διανυσματικός χώρος και μια ορθομοναδιαία θετικά
προσανατολισμένη βάση αυτού. Ονομάζουμε προσανατολισμένη
γωνία δύο μη μηδενικών διατεταγμένων διανυσμάτων του τοv αριθμό που ορίζεται από τις σχέσεις
(1.9) ,
.
Παράδειγμα 4.
Υποθέτουμε ότι ο ευκλείδειος διανυσματικός χώρος του παραδείγματος 1 είναι προσανατολισμένος
και η ορθομοναδιαία βάση ορίζει το θετικό προσανατολισμό. Να αποδειχτεί
ότι το διατεταγμένο ζεύγος των
διανυσμάτων είναι μια αρνητικά προσανατολισμένη βάση του και να βρεθεί η προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων .
Λύση. Είναι .
Επειδή ,
τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως είναι βάση του .
Επίσης ,
άρα αρνητικά προσανατολισμένη βάση του .
Εξάλλου από τον ορισμό 10, για την προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων έχουμε
, .
Ώστε .
Παρατηρούμε ότι η προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων είναι διάφορη της γωνίας αυτών και μάλιστα .