1.5. Oμοπαραλληλικά - Ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων

 

   Θεωρούμε έναν ευκλείδειο σημειακό χώρο  και συμβολίζουμε με  τον αντίστοιχο διανυσματικό του χώρο.

 

Ορισμός 24. Ονομάζουμε ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων  του  με αρχή το σημείο , μια διατεταγμένη τετράδα σημείων  του , όταν το σύνολο  είναι βάση του .

   Οι ευθείες , , ονομάζονται άξονες του ομοπαραλληλικού συστήματος συντεταγμένων .

   Κατά τρόπο ανάλογο:

(α) Ένα σύνολο τριών  διατεταγμένων σημείων  του  ονομάζεται ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του  με αρχή το , όταν το σύνολο  είναι βάση του .

(β) Ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων  του  ονομάζεται ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του  με αρχή το , όταν το μονοσύνολο  είναι βάση του , δηλαδή, όταν τα σημεία  είναι διάφορα.

 

   Θεωρούμε ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων  του  και σημείο  Î .

 

Ορισμός 25. Ονομάζουμε διανυσματική ακτίνα του σημείου  το διάνυσμα .

   Τις συντεταγμένες  της διανυσματικής ακτίνας  του  ως  προς τη βάση  ονομάζουμε συντεταγμένες του  ως προς το σύστημα  και θέτουμε .

   Οι συντεταγμένες σημείου  ως προς σύστημα συντεταγμένων  στο χώρο  (ή  ) ορίζονται ανάλογα και είναι δύο (ή μία).

 

Παράδειγμα 7. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων , , του .

 Λύση. Για τη διανυσματική ακτίνα κάθε σημείου  του  ισχύει

 

(1.18)               .

 

Θέτουμε στη σχέση (1.18) διαδοχικά , . Βρίσκουμε αμέσως τις συντεταγμένες των σημείων , λαμβάνοντας υπόψη ότι τα διανύσματα , ,  είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Πράγματι, αν π.χ. θέσουμε , παίρνουμε

 

,

 

που ισχύει ακριβώς τότε, όταν . Συνεπώς είναι .

Όμοια βρίσκουμε για τις συντεταγμένες των άλλων σημείων , , .

 

 Ας είναι  και  δύο σημεία του .

(a) Λαμβάνοντας υπόψη την (1.18), για το διάνυσμα  προκύπτει

 

                        .

 

Ώστε: Οι συντεταγμένες του διανύσματος  ως προς τη βάση  βρίσκονται, αν από τις συντεταγμένες του πέρατος  αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες της  αρχής  του .

(b) Θεωρούμε το μέσο  των σημείων  και . Ισχύει

 

                        ,

 

οπότε βρίσκουμε

 

                        .

 

Ορισμός 26. Ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων  του  ονομάζεται θετικά (ή αρνητικά) προσανατολισμένο, όταν η βάση  του  είναι θετικά (ή αρνητικά) προσανατολισμένη.

 

Ορισμός 27. Ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων  του  ονομάζεται ορθογώνιο ή καρτεσιανό, όταν το σύνολο  είναι μια ορθομοναδιαία βάση του .

   Οι συντεταγμένες σημείου  ως προς ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζονται καρτεσιανές συντεταγμένες.

 

 Ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του  είναι ορθογώνιο ακριβώς τότε, όταν για κάθε ζεύγος σημείων ,  Î  ισχύει

 

(1.19)               .

 

Παρατήρηση 7. Ο ορισμός ενός προσανατολισμένου (αντ. ορθογώνιου) συστήματος συντεταγμένων στους χώρους ,  είναι ανάλογος του ορισμού 26 (αντ. 27) και η συνθήκη (1.19) παίρνει τη μορφή

 

(1.20)               (αντ.  ).

 

Παράδειγμα  8. Στο χώρο  θεωρούμε θετικά προσανατολισμένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων . Να οριστεί νέο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων  τέτοιο, ώστε: (α) . (β)  συγγραμμικό και της ίδιας φοράς με το διάνυσμα . (γ) , γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων . (δ) Η γωνία  των διανυσμάτων ,  οξεία. (ε) Η βάση  θετικά προσανατολισμένη.

Λύση. Από την υπόθεση (β)

 

   ,

 

και επί πλέον, επειδή  είναι ορθομοναδιαία, έχουμε , απ’ όπου .  Έτσι .

Ανάλογα, λόγω της (γ), , τέτοιοι ώστε

 

.

 

Είναι όμως  και από την υπόθεση (δ) έχουμε . Άρα είναι

 

(1.21)               .

 

Επειδή τα διανύσματα της  είναι κάθετα ανά δύο, ισχύει , απ’ όπου προκύπτει , δηλαδή

 

(1.22)               .

 

Στη συνέχεια από τη σχέση  =1, παίρνουμε  και, λαμβάνοντας υπόψη και τις (1.21), (1.22), βρίσκουμε ότι . Άρα .

Τέλος, η βάση  είναι ορθομοναδιαία και θετικά προσανατολισμένη. Άρα ισχύει . Αφού δε η  ανήκει στον ίδιο προσανατολισμό με τη  ισχύει  (βλ. παρατήρηση 5), απ’ όπου παίρνουμε .

Ώστε το νέο σύστημα συντεταγμένων  αποτελείται από τα σημεία

 

, , , .