1.3. Διανυσματικό γινόμενο – Μικτό γινόμενο

 

   Ας είναι  ένας τρισδιάστατος προσανατολισμένος ευκλείδειος διανυσματικός χώρος και  μια ορθομοναδιαία, θετικά προσανατολισμένη βάση αυτού.

 

Ορισμός 11. Θεωρούμε δύο διατεταγμένα διανύσματα  και  του  με συντεταγμένες ως προς τη βάση Β. Ονομάζουμε διανυσματικό ή εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων  το διάνυσμα

 

(1.10)               .

 

Μνημονικός κανόνας: Η δεξιά πλευρά της παραπάνω σχέσης είναι το ανάπτυγμα της «σχηματικής  ορίζουσας»

 

 .

 

Ιδιότητες

 

1. .

 

2. .

 

3. .

 

4. .

 

5. Δύο διανύσματα  είναι γραμμικά εξαρτημένα ακριβώς τότε, όταν 

 

.

 

6. Για τυχόντα διανύσματα  ισχύει η ταυτότητα του Grassmann:

 

.  

 

7. Για τυχόντα διανύσματα  ισχύει η ταυτότητα του Lagrange:

 

.

 

8. Για τυχόντα διανύσματα  ισχύει

.

 

Παράδειγμα 5. Δίνονται τα διανύσματα  του , με συντεταγμένες ως προς την προαναφερθείσα βάση Β. Να υπολογιστούν τα γινόμενα  και .

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα

 

 

ή τη σχέση (1.10), βρίσκουμε ότι . Όμοια, προκύπτει

 

,  ,  .

 

Παρατήρηση 3. Από το παράδειγμα 5 γίνεται φανερό ότι, εν γένει,

 

.

 

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Grassmann, βρίσκουμε εύκολα, πότε ισχύει η ισότητα. Πράγματι:

 

 

 

,

 

απ’ όπου, λόγω της ιδιότητας 5, προκύπτει ότι τα διανύσματα  είναι γραμμικά εξαρτημένα. Ώστε:

 

   γραμμικά εξαρτημένα.

 

Ορισμός 12. Ονομάζουμε μικτό γινόμενο τριών διατεταγμένων διανυσμάτων  του , τον αριθμό .

 

Ιδιότητες

 

9. ,   .

 

10. ,   .

 

11. .

 

12. Αν είναι  δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του  και  η γωνία τους, ισχύει:

(α) Το διάνυσμα  είναι κάθετο στα .

(β) Η διατεταγμένη τριάδα  είναι θετικά προσανατολισμένη βάση του .

(γ) .

 

Παράδειγμα 6. Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων του παραδείγματος 5 είναι, σύμφωνα με τον ορισμό 12,

 

.

 

Εξάλλου, λόγω της ιδιότητας 9 ισχύει . Επομένως τα διανύσματα , ,  είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή, ισοδύναμα, αποτελούν βάση του . Επειδή μάλιστα είναι , η διατεταγμένη τριάδα  ανήκει στον ίδιο προσανατολισμό με τη , δηλαδή αποτελεί θετικά προσανατολισμένη βάση του .

 

Παρατήρηση 4. Όταν  είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του , τυχόν διάνυσμα  κάθετο στα  είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα .

Πράγματι, λόγω της ιδιότητας 12(β), η τριάδα  είναι βάση του . Άρα υπάρχουν , τέτοια ώστε

 

(1.11)               .

 

Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά την (1.11) επί  και μετά επί . Λαμβάνοντας υπόψη ότι , βρίσκουμε

                       

 

.

 

Για την ορίζουσα  του παραπάνω γραμμικού συστήματος με άγνωστους τα  έχουμε

                       

,

 

και, με χρήση της ιδιότητας 8,

 

.

 

Είναι όμως  γραμμικά ανεξάρτητα, οπότε από την ιδιότητα 5 συμπεραίνουμε ότι . Συνεπώς υπάρχει ακριβώς μία λύση του συστήματος, η τετριμμένη . Έτσι, από την (1.11) παίρνουμε

 

.

 

Παρατήρηση 5. Ας είναι  μια ορθομοναδιαία βάση του . Όταν η  είναι θετικά (αντ. αρνητικά) προσανατολισμένη, ισχύουν μεταξύ των διανυσμάτων της οι σχέσεις:

 

(1.12)               ,  ,  , 

 

(1.13)               (αντ. ,    ).

 

Πράγματι, η ορίζουσα της  ως προς τη δοθείσα βάση Β είναι

 

,

 

όπου  η γωνία των διανυσμάτων . Επειδή , τα διανύσματα  και  είναι συγγραμμικά (βλ. παρατήρηση 4). Άρα  ή  και

 

(1.14)               .

 

Με χρήση της ιδιότητας 12(γ),

 

(1.15)               .

 

Ας υποθέσουμε ότι η  είναι θετικά προσανατολισμένη, δηλαδή ισοδύναμη με τη . Τότε η ορίζουσά της είναι θετική:

 

(1.16)               .

 

Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά, τά μέλη της (1.14) επί  και, δυνάμει της (1.16), παίρνουμε

 

.

 

Είναι λοιπόν

 

                        .

 

Ανάλογα βρίσκουμε  και .

 

Αν υποθέσουμε ότι η Β* είναι αρνητικά προσανατολισμένη, από την (1.15) προκύπτει

 

                        .

 

Ακολουθώντας την προηγούμενη αποδεικτική διαδικασία καταλήγουμε στους τύπους (1.13).