1.1. Εσωτερικό γινόμενο

 

   Ας είναι  τυχών  – διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών .

 

Ορισμός 1. Μια απεικόνιση  ονομάζεται εσωτερικός πολλαπλα­σια­σμός, όταν ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

 

a)      , 

 

b)     , 

 

c)      , 

 

d)     , 

 

e)      .      

 

Ορισμός 2. Ο αριθμός  ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων   .

 

Ορισμός 3. Ο μη αρνητικός αριθμός  ονομάζεται μέτρο του διανύσματος   και συμβολίζεται . Χρησιμοποιούμε επίσης το σύμβολο .

 

Ορισμός 4. Κάθε διανυσματικός χώρος στον οποίο έχει οριστεί ένας εσωτερικός πολλαπλασιασμός ονομάζεται ευκλείδειος διανυσματικός χώρος.

 

Ορισμός 5. Δύο διανύσματα  ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου ονομάζονται κάθετα () ακριβώς τότε, όταν .

 

   Προφανώς ο ορισμός αυτός δεν αποκλείει τις περιπτώσεις ένα από τα δύο διανύσματα ή και τα δύο να είναι μηδενικά, αφού , .

   Πράγματι, ισχύει ,  και με χρήση της ιδιότητας (c) του oρισμού 1, προκύπτει .  Έτσι:

 

   Το μηδενικό διάνυσμα του  θεωρείται κάθετο σε κάθε διάνυσμα αυτού.

 

Ορισμός 6. Μια βάση  ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου  ονομάζεται ορθομοναδιαία ή ορθοκανονική, όταν ισχύει

 

(1.1)                 ,  ,

 

όπου

 

 

είναι το σύμβολο του Kronecker.

 

   Λέμε, ισοδύναμα, ότι η  είναι ορθομοναδιαία ακριβώς τότε, όταν τα διανύσματά της είναι κάθετα ανά δύο και έχουν μέτρο μονάδα (μοναδιαία διανύσματα).

 

Παρατήρηση 1. Ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου δόθηκε χωρίς τη χρήση βάσης του , άρα δεν εξαρτάται από την επιλογή της.

 

   Ας θεωρήσουμε τώρα τυχούσα βάση  ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου . Για δύο τυχόντα διανύσματα  υπάρχουν μοναδικά , , έτσι ώστε  και . Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού πολλαπλασιασμού βρίσκουμε

(1.2)                  

 

και, αν θέσουμε  στην  (1.2),

(1.3)                  .

 

 

Ώστε, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και το μέτρο ενός διανύσματος υπολογίζονται, όταν γνωρίζουμε τα εσωτερικά γινόμενα των διανυσμάτων της βάσης .

 

   Ας υποθέσουμε ότι η βάση  είναι ορθομοναδιαία. Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (1.1), οι τύποι (1.2) και (1.3) παίρνουν τη μορφή

 

(1.4)                 ,

 

(1.5)                 .

 

Παρατήρηση 2. Σ’ ένα διδιάστατο διανυσματικό χώρο  οι τύποι για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων  και το μέτρο ενός διανύσματος , ως προς ορθομοναδιαία βάση , γίνονται αντίστοιχα

 

                        ,

 

                        .

 

Παράδειγμα 1. Ας είναι  ορθομοναδιαία βάση ενός διδιάστατου ευκλείδειου διανυσματικού χώρου  και ,  δύο διανύσματα του  με συντεταγμένες ως προς τη βάση . Σύμφωνα με την παρατήρηση 2 το εσωτερικό γινόμενο των  είναι

 

(1.6)                 .

 

και τα μέτρα τους

 

(1.7)                 ,  .

 

Παράδειγμα 2. Σ’ ένα τρισδιάστατο ευκλείδειο διανυσματικό χώρο  δίνεται ορθομοναδιαία βάση  και το διάνυσμα . Να βρεθεί μοναδιαίο διάνυσμα  κάθετο στο .

Λύση. Ας είναι  οι συντεταγμένες του διανύσματος  ως προς τη βάση . Τα διανύσματα ,είναι κάθετα ακριβώς τότε, όταν . Εφαρμόζουμε τον τύπο (1.4) και βρίσκουμε . Επομένως   

 

, .

 

Για κάθε πραγματική τιμή των  ορίζεται ένα διάνυσμα κάθετο στο . Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε  και  προκύπτει  για το οποίο, λόγω της (1.5), ισχύει και .

Γενικότερα, το διάνυσμα  είναι μοναδιαίο, όταν   ή ισοδύναμα, όταν . Δηλαδή, πρέπει . Άρα το σύνολο των ζητούμενων διανυσμάτων έχει τη μορφή

, όπου .

 

Ορισμός 7. Ονομάζουμε γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων  ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου  τον αριθμό , για τον οποίο ισχύουν οι συνθήκες

(1.8)                  ,   .

 

Προφανώς, όταν τα διανύσματα  είναι συγγραμμικά, η γωνία τους είναι 0 ή π.

 

Παράδειγμα 3. Για τη γωνία  των διανυσμάτων  και  του παραδείγματος 1 βρίσκουμε από τις σχέσεις (1.6), (1.7) και (1.8), ότι  και , οπότε .

 

 Για τυχόντα διανύσματα  ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου  ισχύουν:

 

(a)                       (ανισότητα Cauchy-Schwarz).

 

Η ισότητα ισχύει ακριβώς τότε, όταν  είναι γραμμικά εξαρτημένα.

 

(b)                       (τριγωνικές ανισότητες).

 

Η ισότητα από  αριστερά (αντ. δεξιά) ισχύει ακριβώς τότε, όταν  και  (αντ. ).