Ας είναι τυχών – διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών .
Ορισμός 1. Μια απεικόνιση ονομάζεται εσωτερικός πολλαπλασιασμός, όταν ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) .
Ορισμός 2. Ο αριθμός ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων .
Ορισμός 3. Ο μη αρνητικός αριθμός ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και συμβολίζεται . Χρησιμοποιούμε επίσης το σύμβολο .
Ορισμός 4. Κάθε διανυσματικός χώρος στον οποίο έχει οριστεί ένας εσωτερικός πολλαπλασιασμός ονομάζεται ευκλείδειος διανυσματικός χώρος.
Ορισμός 5. Δύο διανύσματα ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου ονομάζονται κάθετα () ακριβώς τότε, όταν .
Προφανώς ο ορισμός αυτός δεν αποκλείει τις περιπτώσεις ένα από τα δύο διανύσματα ή και τα δύο να είναι μηδενικά, αφού , .
Πράγματι, ισχύει , και με χρήση της ιδιότητας (c) του oρισμού 1, προκύπτει . Έτσι:
Το
μηδενικό διάνυσμα του θεωρείται κάθετο σε
κάθε διάνυσμα αυτού.
Ορισμός 6. Μια βάση ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου ονομάζεται ορθομοναδιαία ή ορθοκανονική, όταν ισχύει
(1.1) , ,
όπου
είναι το σύμβολο του Kronecker.
Λέμε, ισοδύναμα, ότι η είναι ορθομοναδιαία ακριβώς τότε, όταν τα διανύσματά της είναι κάθετα ανά δύο και έχουν μέτρο μονάδα (μοναδιαία διανύσματα).
Παρατήρηση 1. Ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου δόθηκε χωρίς τη χρήση βάσης του , άρα δεν εξαρτάται από την επιλογή της.
Ας θεωρήσουμε τώρα τυχούσα βάση ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου . Για δύο τυχόντα διανύσματα υπάρχουν μοναδικά , , έτσι ώστε και . Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού πολλαπλασιασμού βρίσκουμε
(1.2)
και, αν θέσουμε στην (1.2),
(1.3) .
Ώστε, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και το μέτρο ενός διανύσματος υπολογίζονται, όταν γνωρίζουμε τα εσωτερικά γινόμενα των διανυσμάτων της βάσης .
(1.4) ,
(1.5) .
Παρατήρηση 2. Σ’ ένα διδιάστατο διανυσματικό χώρο οι τύποι για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και το μέτρο ενός διανύσματος , ως προς ορθομοναδιαία βάση , γίνονται αντίστοιχα
,
.
Παράδειγμα 1. Ας είναι ορθομοναδιαία βάση ενός διδιάστατου ευκλείδειου διανυσματικού χώρου και , δύο διανύσματα του με συντεταγμένες ως προς τη βάση . Σύμφωνα με την παρατήρηση 2 το εσωτερικό γινόμενο των είναι
(1.6) .
και τα μέτρα τους
(1.7) , .
Παράδειγμα 2.
Σ’ ένα τρισδιάστατο ευκλείδειο διανυσματικό χώρο δίνεται ορθομοναδιαία
βάση και το διάνυσμα . Να βρεθεί μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο .
Λύση. Ας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση . Τα διανύσματα ,είναι κάθετα ακριβώς τότε, όταν . Εφαρμόζουμε τον τύπο (1.4) και βρίσκουμε . Επομένως
, .
Για κάθε πραγματική τιμή των ορίζεται ένα διάνυσμα κάθετο στο . Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε και προκύπτει για το οποίο, λόγω της (1.5), ισχύει και .
Γενικότερα, το διάνυσμα είναι μοναδιαίο, όταν ή ισοδύναμα, όταν . Δηλαδή, πρέπει . Άρα το σύνολο των ζητούμενων διανυσμάτων έχει τη μορφή
, όπου .
Ορισμός 7. Ονομάζουμε γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ενός ευκλείδειου
διανυσματικού χώρου τον αριθμό , για τον οποίο ισχύουν οι συνθήκες
(1.8) , .
Προφανώς, όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, η γωνία τους είναι 0 ή π.
Παράδειγμα 3. Για τη γωνία των διανυσμάτων και του παραδείγματος 1
βρίσκουμε από τις σχέσεις (1.6), (1.7) και (1.8), ότι και , οπότε .
Για τυχόντα διανύσματα ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου ισχύουν:
(a) (ανισότητα Cauchy-Schwarz).
Η ισότητα ισχύει ακριβώς τότε, όταν είναι γραμμικά εξαρτημένα.
(b) (τριγωνικές ανισότητες).
Η ισότητα από αριστερά (αντ. δεξιά) ισχύει ακριβώς τότε, όταν και (αντ. ).