4.2. Απόσταση σημείου από ευθεία – Γωνία δυο ευθειών στο χώρο

 

   Θεωρούμε ευθεία

 

,

 

και σημείο , που δεν ανήκει στην . Zητούμε την ορθή προβολή  του  πάνω στην , την κάθετο  της  που διέρχεται από το  και την απόσταση του  από την .

   Συμβολίζουμε  με ,  τις διανυσματικές ακτίνες του σημείου  και της ορθής προβολής του  πάνω στην  αντίστοιχα.

   Το διάνυσμα  είναι κάθετο στην , άρα και στο διάνυσμα . Επομένως ισχύει

 

(4.8)                 .

 

   Εξάλλου, αφού ,  τέτοιο, ώστε . Έτσι από την (4.8) έχουμε

,

 

οπότε

 

                        .

 

Επομένως:

 

 Η διανυσματική ακτίνα της ορθής προβολής  του  πάνω στην  είναι

 

.

 

 Η διανυσματική εξίσωση της ευθείας  που διέρχεται από το  και είναι κάθετη στην  είναι

 

                        ,

 

όπου

 

                        . 

 

   Η απόσταση  είναι ίση με . Συνεπώς

 

 

.

 

Ώστε:

 

 Η απόσταση  του σημείου  από την ευθεία  είναι

 

(4.9)                 .

 

Ορισμός 38. Ας είναι , και , δύο ευθείες του χώρου . Ονομάζουμε γωνία των ευθειών  και  τον αριθμό , που ορίζεται ως εξής:

 

,   .

 

Παράδειγμα 34. Να βρεθεί η γωνία  της ευθείας , , και του άξονα . Ποια είναι η απόσταση του σημείου  από τον άξονα ;

Λύση. Ο άξονας  είναι παράλληλος στο διάνυσμα  και διέρχεται από την αρχή . Άρα έχει διανυσματική εξίσωση

 

,   .

 

Κάνοντας χρήση του ορισμού 38, βρίσκουμε για τη γωνία

 

                        ,   ,

 

δηλαδή .

Εξάλλου, για να υπολογίσουμε την απόσταση του  από τον άξονα , θέτουμε στον τύπο (4.9) , , . Προκύπτει .

 

Παρατήρηση 22. Ο ορισμός 38, ισχύει και για τη γωνία δύο ευθειών στο ευκλείδειο επίπεδο.