4.1. Εξισώσεις ευθείας στο χώρο

 

   Ας είναι  ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου . Υποθέτουμε ότι η βάση  ορίζει το θετικό προσανατολισμό του αντίστοιχου διανυσματικού χώρου  του .

 

(Α) Εξισώσεις ευθείας που ορίζεται από ένα σημείο και ένα μη μηδενικό διάνυσμα

 

   Θεωρούμε ευθεία  που διέρχεται από δοθέν σημείο  και είναι παράλληλη προς δοθέν μη μηδενικό διάνυσμα . Συμβολίζουμε με  τη διανυσματική ακτίνα τυχόντος σημείου  της  και  τη διανυσματική ακτίνα του σημείου .

 

(α) Η διανυσματική εξίσωση της  είναι

 

(4.1)                 ,  ,  .

 

(β) Οι παραμετρικές εξισώσεις της είναι

 

                       

 

(4.2)                 ,  ,  .

 

                       

 

(γ) Τέλος, οι αναλυτικές εξισώσεις της :

 

(i) Αν , προκύπτουν με απαλοιφή του λ από τις (4.2) και είναι

 

(4.3)                 .

 

(ii) Aν μία από τις συντεταγμένες  είναι μηδέν, π.χ.  και , , είναι

 

(4.5)                 ,   .

 

(iii) Αν δύο από τις συντεταγμένες  είναι μηδέν, π.χ. , και  είναι

 

(4.6)                 ,   .

 

Παρατήρηση 20. Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις οι αναλυτικές εξισώσεις της  είναι δύο ανεξάρτητες εξισώσεις, κάθε μία από τις οποίες παριστάνει ένα επίπεδο. Η ευθεία ορίζεται ως τομή των δύο αυτών επιπέδων (Περίπτωση (Γ)).

 

Παρατήρηση 21. Σε κάθε πραγματική τιμή του  αντιστοιχεί ένα σημείο της , του οποίου οι συντεταγμένες δίνονται από τις (4.2) και σε κάθε σημείο της , μέσω των (4.1) ή (4.2), αντιστοιχεί μια ακριβώς τιμή του λ.

 

Παράδειγμα 30. Να βρεθούν οι παραμετρικές και οι αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας , που διέρχεται από το σημείο  και είναι παράλληλη στο διάνυσμα . Κατόπιν, να εξεταστεί αν το σημείο  ανήκει στην .

Λύση. Οι παραμετρικές εξισώσεις της  είναι:

 

                       

                        ,              .

                       

 

Απαλείφουμε το  από την πρώτη και τρίτη των παραμετρικών εξισώσεων και έχουμε  ή . Έτσι, οι αναλυτικές εξισώσεις της  είναι:

                       

,   .

 

Αν , θα υπάρχει  τέτοιο, ώστε να ισχύει

                       

,   2=0,   .

 

Προφανώς αυτό είναι άτοπο. Άρα .

 

Παράδειγμα 31. Δίνεται η ευθεία , . Να βρεθεί ένα διάνυσμα παράλληλο προς αυτή.

Λύση. (α΄ τρόπος) Θέτουμε  και από τις αναλυτικές εξισώσεις της  προκύπτει  και . Δίνοντας στο λ διαδοχικά τις τιμές , , προκύπτουν αντίστοιχα , . Άρα τα σημεία  και  ανήκουν στην  και το διάνυσμα  ή, ισοδύναμα, το  είναι παράλληλο προς αυτή.

(β΄ τρόπος) Η  δίνεται ως τομή των επιπέδων

 

 και .

 

Τα διανύσματα  και  είναι γραμμικά ανεξάρτητα και κάθετα στα επίπεδα  και  αντίστοιχα. Άρα είναι κάθετα και στην τομή τους . Ας είναι  διάνυσμα παράλληλο προς την . Ισχύει  και . Σύμφωνα όμως με την παρατήρηση 4, είναι  συγγραμμικό με το . Άρα ένα διάνυσμα παράλληλο προς την  είναι το  ={1,1,0}.

 

(Β) Εξισώσεις ευθείας που ορίζεται από δύο διάφορα σημεία

 

   Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία  ορίζεται από δύο διάφορα σημεία , . Για να βρούμε στην περίπτωση αυτή τις εξισώσεις της , αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το μη μηδενικό διάνυσμα  είναι παράλληλο προς την  και να εφαρμόσουμε όσα αναφέραμε στην περίπτωση (Α).

 

Παράδειγμα 32. Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις του άξονα .

Λύση. Τα σημεία  και  ανήκουν στον άξονα . Επομένως  ο άξονας  είναι παράλληλος στο διάνυσμα . Έτσι:

Η διανυσματική του εξίσωση είναι   

 

,  ,

 

οι παραμετρικές του εξισώσεις είναι  

 

,   ,   ,  ,

 

και, οι αναλυτικές του εξισώσεις είναι   

 

,   .

 

Ανάλογα, βρίσκουμε ότι ο άξονας  (αντ.  ) έχει αναλυτικές εξισώσεις ,  (αντ. ,  ).

 

(Γ) Εξισώσεις ευθείας που ορίζεται ως τομή δύο επιπέδων

 

Οι αναλυτικές εξισώσεις δύο επιπέδων        

 

,   ,

(4.7)                

,   ,

 

παριστάνουν μία ευθεία  ακριβώς τότε, όταν ισχύει  (βλ. παράγραφο3.3). Οι (4.7) είναι οι αναλυτικές εξισώσεις της .

 

Παράδειγμα 33. Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας , που διέρχεται από το σημείο , τέμνει τον άξονα  και είναι παράλληλη στο επίπεδο .

Λύση. Για να ορίσουμε τις αναλυτικές εξισώσεις της , αρκεί να βρούμε τις εξισώσεις δύο διάφορων επιπέδων, που την περιέχουν.

 Είναι φανερό, ότι η  ανήκει στο επίπεδο , που διέρχεται από το σημείο  και είναι παράλληλο στο . Συγχρόνως ανήκει και στο επίπεδο , που ορίζεται από το σημείο  και δύο διάφορα σημεία του άξονα , για παράδειγμα τα . Τα ,  είναι μη συνευθειακά, γιατί προφανώς το  δεν ανήκει στον άξονα  ( ,  ) (βλ. παράδειγμα 32).

Η εξίσωση του  έχει τη μορφή  (βλ. παρατήρηση 18). Γνωρίζουμε όμως ότι , άρα οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση του  και συνεπώς . Ώστε:

 

.

 

Εξάλλου, η εξίσωση του επιπέδου  είναι (βλ. σχέση (3.7))

 

.

 

Προκύπτει λοιπόν

 

: ,  .