3.1. Εξισώσεις επιπέδου

 

   Σ’ έναν ευκλείδειο σημειακό χώρο  θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων  και τη βάση  του αντίστοιχου διανυσματικού του χώρου .

 

(Α) Εξισώσεις επιπέδου που ορίζεται από ένα σημείο και δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα

 

   Θεωρούμε σημείο  του  και δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ,  του . Η τριάδα  ορίζει ένα επίπεδο . Ας είναι  τυχόν σημείο του ,  η διανυσματική ακτίνα  του  και  η διανυσματική ακτίνα του .

   Το επίπεδο , που διέρχεται από το σημείο  και είναι παράλληλο προς τα γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα  έχει:

 

(α) Διανυσματική εξίσωση:

 

(3.1)                 ,   .

 

(β) Παραμετρικές εξισώσεις:

 

                       

(3.2)                 ,   ,   .

                       

 

(γ) Αναλυτική εξίσωση ή απλά εξίσωση:

 

(3.3)                 ,   ,

 

όπου

(3.4)                 ,

 

Για να ανήκει ένα σημείο Χ του  στο επίπεδο , πρέπει και αρκεί να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί , ώστε η διανυσματική του ακτίνα  να ικανοποιεί τη σχέση (3.1) ή οι συντεταγμένες του  ως προς το  να ικανοποιούν τις σχέσεις (3.2) ή (3.3).

 

Παρατήρηση 15. Ο περιορισμός στις σχέσεις (3.2) είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι εξισώσεις αυτές να παριστάνουν επίπεδο. Δηλώνει ότι μία τουλάχιστον από τις ορίζουσες δεύτερης τάξης  είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή δεν υπάρχει  τέτοιο, ώστε να ισχύει , και επομένως τα διανύσματα  είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

 

Παρατήρηση 16. Η αναλυτική εξίσωση (3.3) του  προκύπτει από τις παραμετρικές, με απαλοιφή των  και . Δεν είναι μονότιμα ορισμένη, διότι προφανώς στο ίδιο επίπεδο  αντιστοιχούν άπειρες αναλυτικές εξισώσεις της μορφής , . Ισχύει μάλιστα το θεώρημα:

   Όταν δύο εξισώσεις

 

,  και

 

, ,

 

παριστάνουν το ίδιο επίπεδο, τότε κάθε μια από αυτές προκύπτει από την άλλη με πολλαπλασιασμό επί πραγματικό αριθμό διάφορο από το μηδέν.

 

Παρατήρηση 17. Μια άλλη έκφραση για την αναλυτική εξίσωση του  είναι

 

(3.5)                 .

 

Παράδειγμα 21. Να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου , που διέρχεται από το σημείο  και είναι παράλληλο προς τα διανύσματα  και . Επίσης να εξεταστεί, αν το σημείο  ανήκει στο .

Λύση. Είναι

 

(3.6)                 ,

 

οπότε τα διανύσματα  είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Σύμφωνα λοιπόν με την (3.1), η διανυσματική εξίσωση του  είναι

 

,   .  

 

Εξάλλου,  ακριβώς τότε, όταν υπάρχουν  τέτοια, ώστε η διανυσματική ακτίνα  του  να ικανοποιεί τη διανυσματική εξίσωση του . Δηλαδή, όταν ισχύει

 

{-1,-1,8}=  

 

ή, ισοδύναμα, όταν

 

,

 

απ’ όπου βρίσκουμε  και . Άρα .

 

Παράδειγμα 22. Να βρεθούν οι παραμετρικές εξισώσεις και η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου  του παραδείγματος 21.

Λύση. Από τις σχέσεις (3.2), λαμβάνοντας υπόψη και την (3.6), προκύπτει ότι οι παραμετρικές εξισώσεις του  είναι:

 

                        ,   ,   ,   .

 

Για να βρούμε τώρα την αναλυτική εξίσωση του  εργαζόμαστε ως εξής:

(α΄ τρόπος) Απαλείφουμε τα  από τις παραμετρικές εξισώσεις του . Έτσι έχουμε από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση

 

,  

 

αντίστοιχα. Αντικαθιστούμε στην πρώτη και προκύπτει η ζητούμενη αναλυτική εξίσωση

 

.

 

(β΄ τρόπος) Υπολογίζουμε από τους τύπους (3.4) τα :

 

,   ,   ,

 

.

 

Μετά αντικαθιστούμε στην (3.3).

(γ΄ τρόπος) Αντικαθιστούμε τα δεδομένα στη σχέση (3.5) της παρατήρησης 17:

 

                        .

 

Παράδειγμα 23. Να εξεταστεί αν οι εξισώσεις , , , , παριστάνουν επίπεδο.

Λύση. Παρατηρούμε ότι . Επομένως οι παραπάνω εξισώσεις δεν παριστάνουν επίπεδο (βλ. παρατήρηση 15). Θέτουμε . Τότε οι εξισώσεις παίρνουν τη μορφή

 

,   ,   ,   ,

 

που είναι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας παράλληλης στο διάνυσμα .

 

Παράδειγμα 24. Ας είναι  η αναλυτική εξίσωση επιπέδου . Να βρεθούν οι παραμετρικές εξισώσεις του  και κατόπιν η διανυσματική του εξίσωση.

Λύση. Θέτουμε  και αντικαθιστούμε στην αναλυτική εξίσωση του . Προκύπτει

 

                        ,   ,   ,   .

 

Παρατηρούμε ότι . Άρα οι παραπάνω είναι οι παραμετρικές εξισώσεις του . Από αυτές παίρνουμε αμέσως και τη διανυσματική του εξίσωση:

 

,   .

 

(Β) Εξισώσεις επιπέδου που ορίζεται από τρία μη συνευθειακά σημεία

 

   Ας είναι , ,  τρία μη συνευθειακά σημεία του . Τότε τα διανύσματα  είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Συμβολίζουμε με

 τις διανυσματικές ακτίνες των  αντίστοιχα.

   Το επίπεδο  που ορίζεται από τα σημεία  έχει:

 

(α) Διανυσματική εξίσωση:

 

,   .

 

(β) Παραμετρικές εξισώσεις:

 

                       

 

                        ,   .

 

                       

 

(γ) Αναλυτική εξίσωση ή απλά εξίσωση:

 

(3.7)                 .

 

Παράδειγμα 25. Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις των επιπέδων, που ορίζονται από τα σημεία (α) , (β) , (γ) .

Λύση. (α) Τα σημεία αυτά είναι μη συνευθειακά, αφού τα διανύσματα  και  είναι γραμμικά ανεξάρτητα ως διανύσματα βάσης. Είναι γνωστό ότι , ,  (βλ. παράδειγμα 7). Αντικαθιστούμε στην (3.7) και έχουμε

 

                        .

 

Ώστε, η αναλυτική εξίσωση του ζητούμενου επιπέδου είναι .

Ανάλογα διαπιστώνουμε ότι στις περιπτώσεις (β) και (γ) οι αναλυτικές εξισώσεις των επιπέδων είναι αντίστοιχα , .

Τα τρία αυτά επίπεδα ονομάζονται συντεταγμένα επίπεδα του .

 

(Γ) Εξισώσεις επιπέδου που ορίζεται από σημείο και μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο σ’ αυτό.

 

   Θεωρούμε επίπεδο  που διέρχεται από το σημείο  και είναι κάθετο σε μη μηδενικό διάνυσμα . Ας είναι  η διανυσματική ακτίνα τυχόντος σημείου  του . Ισχύει  και επομένως 

 

(3.8)                

 

ή, ισοδύναμα, επειδή η βάση  είναι ορθομοναδιαία,

           

(3.9)                 .

 

Αντίστροφα, αν η διανυσματική ακτίνα σημείου  του  ικανοποιεί την (3.8), τότε το διάνυσμα  ανήκει στον αντίστοιχο διανυσματικό χώρο  του , οπότε . Άρα η (3.8) ή ισοδύναμα η (3.9) είναι εξίσωση του επιπέδου .

 

 Ας είναι ,  η αναλυτική εξίσωση του . Συγκρίνοντάς την με την (3.9) προκύπτει ότι:

 

   Το διάνυσμα   είναι κάθετο στο .

 

Παράδειγμα 26. Να βρεθεί η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου, που διέρχεται από το σημείο  και είναι κάθετο στο διάνυσμα .

Λύση. Είναι  και  (βλ. παράδειγμα 7). Έτσι, με αντικατάσταση στην (3.8) έχουμε

 

 

.