Hara Charalambous Χαρά Χαραλάμπους

Θεωρία Galois

Χειμερινό Εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2014-2015.

Πληροφορίες

Ώρες παραδόσεων: Τρίτη 12-1μμ (Δ11), Τετάρτη 10-11 Δ11, Πέμπτη 11-12πμ (Δ21)

Ώρες συνεργασίας: Τρίτη 10-12, Τετάρτη 4-5

Αξιολόγηση μαθήματος: θα υπάρξουν 2 πρόοδοι (απαλλακτικές) και τελική εξέταση.

Ο φοιτητής θα πρέπει να επιλέξει τον τρόπο εξέτασής του.

Η δεύτερη πρόοδος προγραμματίζεται για την

Παρασκευή 16.01.2015, 2μμ-3:30 μμ στην αίθουσα Εμπειρίκος. Η ύλη της δεύτερης προόδου περιλαμβάνει ότι έχει καλυφθεί από τις 6.11.2014 έως και τη Τετάρτη 14.1.2015. Για τη δεύτερη πρόοδο οι συμμετέχοντες θα πρέπει να έχουν την ευχέρεια

· Να διατυπώσουν το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois στη πλήρη μορφή του, εξηγώντας όλους τους όρους που χρησιμοποιούνται στη διατύπωση (π.χ. τι σημαίνει επεκταση Galois, τι σημαίνει Gal(L/F), L^H κλπ)

· Να υπολογίσουν την ομάδα Galois και τα ενδιάμεσα σώματα για συγκεκριμένα παραδείγματα.

· Να γνωρίζουν τι είναι η διακρίνουσα ενός πολυωνύμου και το ενδιαφέρον της.

· Για πεπερασμένα σώματα F με «μικρό» αριθμό στοιχείων (pⁿ για μικρό n) να μπορούν να υπολογίσουν την ομάδα Gal(F/Z_p)

· Να γνωρίζουν πότε υπάρχει τύπος για τις ρίζες ενός πολυωνύμου.

· Να γνωρίζουν πότε ένας πραγματικός αριθμός είναι κατασκευάσιμος.

Βαθμοί πρώτης προόδου.

Η πρώτη πρόοδος προγραμματίζεται για την

Παρασκευή 14.11.2014, 4μμ-5:30 μμ. Η ύλη της προόδου περιλαμβάνει ότι έχει καλυφθεί έως και τις 6.11.2014. Όσοι φοιτητές σκοπεύουν να εξεταστούν στη πρώτη πρόοδο,

πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή στέλνοντας e-mail με θέμα πρόοδο στη Θεωρία Galois και περιεχόμενο το όνομα και το ΑΕΜ. Η δεύτερη πρόοδος θα λάβει χώρα μετά τις διακοπές των Χριστουγέννων.

Για τη πρώτη πρόοδο, οι συμμετέχοντες θα πρέπει να έχουν την ευχέρεια

· να βρίσκουν ανάγωγα πολυώνυμα στο Ζp [x] και στο Q[x],

· να υπολογίzουν αντίστροφα στοιχεία σε σώματα της μορφής k[x]/I,

· να κατασκευάζουν σώματα που περιέχουν ρίζες αναγώγων πολυωνύμων,

· να βρίσκουν τις ρίζες πολυωνύμων της μορφής xn + b, γράφοντας -b=r eiθ , r>=0, και χρησιμοποιώντας τον τύπο (από την ανάλυση), για τις n μιγαδικές ρίζες του –b.

· να δείχνουν ότι κάθε πολυωνυμικός συνδυασμός αλγεβρικών στοιχείων πάνω από ένα σώμα k είναι αλγεβρικός πάνω από το k,

· να υπολογίζουν βαθμούς απλών αλγεβρικών επεκτάσεων k(a) βρίσκοντας το ανάγωγο πολυώνυμο του a πάνω από το k,

· να υπολογίζουν βαθμούς επεκτάσεων χρησιμοποιώντας ενδιάμεσα σώματα,

· να βρίσκουν βάσεις επεκτάσεων πάνω από ένα σώμα k

· να ορίζουν την ομάδα Gal(L/L) και την πράξη της, καθώς και να είναι σε θέση να προσδιορίσουν κάποια στοιχεία αυτής της ομάδα.

Ύλη μαθήματος

Κατασκευή σωμάτων. Θεωρία πολυωνύμων με συντελεστές από σώμα. Αλγεβρικές

επεκτάσεις. Κλασσικά ελληνικά προβλήματα: κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.

Επιλυσιμότητα με ριζικά. Επιλυσιμότητα πολυωνυμικών εξισώσεων μικρού βαθμού.

Ομάδα και επέκταση του Galois. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois.

Εφαρμογές: επιλυσιμότητα πολυωνυμικών εξισώσεων, το θεμελιώδες θεώρημα της

Άλγεβρας, ρίζες της μονάδας, πεπερασμένα σώματα.

Ημερολόγιο Μαθήματος

Μάθημα	Ημερομηνία	Περιεχόμενο
	30-9-2014	Εισαγωγή: (Θ.Θ.Α., ανάγωγα πολυώνυμα, επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (ιστορική αναδρομή), τα κλασσικά προβλήματα της αρχαιότητας)
	2-10-2014	Το μάθημα δεν έγινε λόγω ακαταλληλότητας της αίθουσας. Η ώρα θα αναπληρωθεί.
	7-10-2014	Πρωταρχικές ρίζες της μονάδας, οι ρίζες του f(x)=x^3-2, κριτήριο του Eisenstein, παραγοντοποίση του f(x) στο Q[x], R[x], C[x]
	8-10-2014	Η ώρα θα αναπληρωθεί.
	9-10-2014	Οι ρίζες του g(x)=x^3-1, κυκλοτομικό πολυώνυμο, παραγοντοποίηση του g(x) στο Q[x], R[x], C[x]. Πρόταση: Δεν υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο στο R[x] που να έχει βαθμό μεγαλύτερο του 2.
	14-10-2014	Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Παραδείγματα. Κύρια Ιδεώδη. Aν f(x) ανάγωγο στο k[x], τότε (f(x)) είναι μέγιστο. Τα μη μηδενικά πρώτα ιδεώδη σε μία περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι και μέγιστα.
	15-10-2014	Εύρεση αντιστρόφων στον Q[x]/(x^3-5) με τη χρήση του Ευκλειδίου αλγορίθμου. Βάση του Q[x]/(x^3-5) πάνω από το Q.
	16-10-2014	Αν k είναι σώμα, f(x) ανάγωγο στο k[x], I=(f(x)), τότε k[x]/I είναι σώμα και k-διανυσματικός χώρος διάστασης ίση με deg f(x). Ο δακτύλιος Q[5^1/3] είναι σώμα και Q-διανυσματικός χώρος, διάστασης 3, (επανάληψη πρώτο θεώρημα ισομορφίας δακτυλίων, απόδειξη ότι φ: Q[x]-> Q[5^1/3], f(x)->f(5^1/3) είναι επιμορφισμός δακτυλίων με Ker φ= (x^3-5).
	21-10-2014	Ο δακτύλιος Q[2^1/3] είναι σώμα. Ο δακτύλιος Q[2^1/3] είναι ισόμορφος με τους δακτυλίους Q[x]/(x^3-2) και Q[w2^1/3] όπου w=e^2π^i^/3. Εύρεση αντιστρόφων στον Q[x]/(x^2-3). Είναι οι δακτύλιοι Q[2^1/3] και Q[5^1/3] ισόμορφοι?
	22-10-2014	Ζωή και το έργο του E. Galois. Αν f(x) ανάγωγο στο k[x] τότε υπάρχει σώμα Κ στο οποίο εμφυτεύεται το k έτσι ώστε Κ να περιέχει ρίζα a του f(x), (δηλ. f(a)=0). Ανάγωγα πολυώνυμα βαθμού 2 και 3 στο Z2[x]
	23-10-2014	(Kronecker) Αν k είναι σώμα και f(x) μη σταθερό πολυώνυμο στο k[x] τότε υπάρχει ένα σώμα Κ στο οποίο εμφυτεύεται το k έτσι ώστε το f(x) να γράφεται ως γινόμενο γραμμικών παραγόντων στο K[x]. Σώματα ανάλυσης. Είναι το Q[i] σώμα ανάλυσης του f(x)=x^2+1? Ένα πολυώνυμο βαθμού 4 είναι ανάγωγο στο k[x] αν και μόνο αν δεν έχει κάποιον ανάγωγο παράγοντα βαθμού 1 και 2. Αρκεί λοιπόν να βρούμε αν έχει ρίζα στο k και να κάποιο ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού 2 το διαιρεί. Έστω f(x) πολυώνυμο με συντελεστές στο Z[x] έτσι ώστε το πολυώνυμο εικόνα f(x) στο Zp[x] να είναι ανάγωγο με βαθμό ίσο με τον βαθμό του f(x). Τότε f(x) είναι ανάγωγο στο Q[x].
	29-10-2014	Το πολυώνυμο f(x) με συντελεστές από το k έχει απλές ρίζες σε ένα σώμα ανάλυσης Κ αν και μόνο αν ο μ.κ.δ. του f(x) και f ΄(x) είναι 1, ( ο μέγιστος κοινός διαιρέτης προκύπτει από τον ευκλείδιο αλγόριθμο και είναι ο ίδιος, είτε τον εφαρμόσουμε στο k[x] είτε στο K[x]. Ένα ανάγωγο πολυώνυμο λέγεται διαχωρίσιμο αν όλες οι ρίζες του σε ένα σώμα ανάλυσης είναι απλές. Αν f(x) είναι ανάγωγο και k έχει χαρακτηριστική μηδέν, τότε f(x) σε είναι διαχωρίσιμο. Αν f(x) είναι ανάγωγο και k έχει χαρακτηριστική διάφορη του μηδενός τότε f(x) είναι διαχωρίσιμο αν και μόνο αν f ΄(x) δεν είναι μηδέν.
	30-10-2014	Παράδειγμα: στο σώμα Z2(t) το πολυώνυμο x^2-t είναι ανάγωγο και οι ρίζες του σε ένα σώμα ανάλυσης ΔΕΝ είναι απλές. Ορισμός αλγεβρικού, υπερβατικού στοιχείου. Αν a στοιχείο ενός σώματος επέκτασης του k είναι αλγεβρικό, τότε υπάρχει (μοναδικό) μονικό/κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο στο k[x] με το a ως ρίζα. Θα το συμβολίζουμε με irra (x). Παραδείγματα. Το ανάγωγο πολυώνυμο του 2^1/2+ 3^1/2πάνω από το Q έχει βαθμό 4. Αν a είναι υπερβατικό τότε k[a] είναι ισόμορφο με το k[x] και έχει άπειρη διάσταση ως k διανυσματικός χώρος.
	4-11-2014	Αν a είναι αλγεβρικό πάνω από το k και F=k[a] τότε [F: k]=deg irra (x). Επίσης με k[a1 , …, an ] συμβολίζουμε τον δακτύλιο k[a1 , …, an-1 ][an ]. Θεώρημα: [F:k]=[F:L] [L: k] όπου k περιέχεται στο L και L περιέχεται στο F. Παράδειγμα: Q[2^1/2 , 3^1/2]= Q[ 2^1/2 + 3^1/2] με βάση { 1, 2^1/2, 3^1/2, 6^1/2 } πάνω από το Q.
	5-11-2014	Απόδειξη για τη βάση του F ως k-διανυσματικού χώρου όταν γνωρίζουμε τη βάση του F ως L-διανυσματικού χώρου και τη βάση του L ως k-διανυσματικού χώρου. Αν [F:k] είναι πεπερασμένη, τότε κάθε στοιχείο του F είναι αλγεβρικό πάνω από το k. Αν a1 , a2 αλγεβρικά πάνω από το k τότε a1 + a2 , και a1a2 , είναι αλγεβρικά πάνω από το k. Παραδείγματα: διάσταση [C: R], [R:Q], [L:Q] όπου L σώμα ανάλυσης του x^3-2.
	6-11-2014	Αν [F:k] πρώτος τότε για κάθε a του F\k ισχύει ότι F=k[a]. Ορισμός της Gal(F/k). Παραδείγματα: Gal(k/k), Gal(C/R), Gal(Q[2^1/3], Q). Το σύνολο Gal(F/k) είναι όντως ομάδα. Αν φ στοιχείο της Gal(F/k) και a στοιχείο της F τότε φ(a) πρέπει να είναι ρίζα του irra (x)
	11-11-2014	Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois (f(x) ανάγωγο, διαχωρίσιμο στο k[x], L σώμα ανάλυσης) και η αμφιμονότιμη αντιστοιχία ανάμεσα στα ενδιάμεσα σώματα B (ανάμεσα στο k και στο L) και στις υποομάδες Gal(L/B) της ομάδας Gal(L/k). Gal(Q[2^1/2], Q) ισόμορφη με την Z2. Η ομάδα Gal(Q[2^1/2, 3^1/2]/ Q) έχει 4 στοιχεία και δεν είναι κυκλική, (τάξη στοιχείων).
	12-11-2014	Επανάληψη, το σώμα ανάλυσης του x^3-2 και οι αντίστοιχες ομάδες Galois στο C[x], R[x], Q[x],
	13-11-2014	η ομάδα Gal(Q[2^1/2, e^2π^i^/3]/ Q) έχει 6 στοιχεία, και δεν είναι αντιμεταθετική, ένα πολυώνυμο f(x) είναι ανάγωγο αν δεν έχει μονικό ανάγωγο παράγοντα βαθμού μικρότερου ή ίσου του deg f(x) /2, το σώμα L= Q[e^2π^i^/13] είναι σώμα ανάλυσης του κυκλοτομικού πολυωνύμου και [L:Q]=12, το σώμα L= Q[2^1/12] δεν είναι σώμα ανάλυσης του x^12-2 και [L:Q]=12, αν [L:Q]=12 τότε δεν υπάρχει a στο L έτσι ώστε το ανάγωγο πολυώνυμο του a πάνω από το Q να έχει βαθμό 12.
	14-11-2014	Πρώτη Πρόοδος, Αμφιθέατρο Εμπειρίκος, 4:00-5:30.
	18-11-2014	H πληθυκότητα της Gal(k(a)/K) είναι το πολύ ίση με [k(a):k], δηλ. τον βαθμό του αναγώγου πολυωνύμου του a πάνω από το k.Ισομορφισμός σωμάτων k, k’ μπορεί να επεκταθεί σε ισομορφισμό σωμάτων k(a), k’(b), έτσι ώστε η εικόνα του a να είναι το b αρκεί το ανάγωγο πολυώνυμο του b να αντιστοιχει στο ανάγωγο πολυώνυμο του a. Παράδειγμα όταν k=k’ και τα a,b είναι ρίζες του ιδίου αναγώγου πολυωνύμου. Να αποδείξετε ότι 5^1/2 δεν ανήκει στο L=Q[2^1/2, 3^1/2] και να βρείτε Gal(L[5^1/2]/ L) και Gal(L[5^1/2]/ Q).
	19-11-2014	Το μάθημα δε θα γίνει. Η ώρα θα αναπληρωθεί.
	20-11-2014	Αναλυτική απόδειξη ύπαρξης των στοιχείων της Gal(Q[2^1/2, e^2π^i^/3]/ Q) με διαδοχική χρήση του θεωρήματος (18-11-2014). Να βρεθεί η Gal(E/Q) όπου Ε είναι το σώμα ανάλυσης του x^4-2. Ισομετρίες του τριγώνου και Gal(Q[2^1/2, e^2πi/3]/ Q).
	25-11-2014	Αντιστοιχία ενδιάμεσων σωμάτων και υποομάδων της ομάδας Galois για το x^3-2. Έχει κάποια διαίτερη σημασία αν το ενδιάμεσο σώμα, είναι σώμα ανάλυσης? Να βρεθούν όλα τα ενδιάμεσα υποσώματα (ανάμεσα στο Q και στο Q[2^1/2, e^2π^i^/3]).
	26-11-2014	Αντιστοιχία ανάμεσα στις υποομάδες της ομάδας Galois και στα ενδιάμεσα υποσώματα. Η ομάδα Gal(E/Q) όπου Ε είναι το σώμα ανάλυσης του x^4-2 και οι συμμετρίες του τετραγώνου. Αν f(x) είναι διαχωρίσιμο, ανάγωγο πάνω από το k και έχει βαθμό n, E είναι σώμα ανάλυσης του f(x), τότε η ομάδα Gal(E/k) εμφυτεύεται στο Sn .
	27-11-2014	Οι τάξεις των στοιχείων της ομάδας Gal(E/Q) όπου Ε είναι το σώμα ανάλυσης του x^4-2, και οι υποομάδες Gal(E/Q(i)), Gal(E/Q(2^1/4)), Gal(E/Q(i2^1/4)). Να βρεθεί το ανάγωγο πολυώνυμο του 2^1/4 πάνω από το Q(2^1/2) και η Gal(E/Q(2^1/2) ). Ορισμός του σταθερού σώματος Ε^H για μία υποομάδα Η της Gal(F/k). Για όλες τις κυκλικές υποομάδες της Gal(E/Q) όπου το σώμα ανάλυσης του x^4-2 να βρεθεί το σώμα Ε^H.
	2-12-2014	Έστω F=Q(2^1/2) και E= Q(i, 2^1/4). Τότε Gal(E/F) έχει τέσσερα στοιχεία: φ(2^1/4)=+/- 2^1/4 αφού το ανάγωγο πολυώνυμό του πάνω από το F είναι x^2-2^1/2 ενώ φ(i)=+/- i. Αν F είναι ενδιάμεσο σώμα ανάλυσης και φ ανήκει στην ομάδα Gal(E/k) τότε ο περιορισμός της φ στην F είναι αυτομορφισμός της F και η υποομάδα Gal(E/F) είναι κανονική. Το πολυώνυμο f(x)=x^5-4x+2 έχει ακριβώς 3 πραγματικές ρίζες.
	3-12-2014	Έστω f(x)=x^5-4x+2, E το σώμα ανάλυσης του f(x) πάνω από το Q. Τότε η αντίστοιχη ομάδα Galois είναι ισόμορφη με την ομάδα S5. Να βρεθεί [Εi: Ei-1] όπου Ει προκύπτει από το Q προσαρτώντας διαδοχικά της ρίζες του f(x). H αντιστοίχηση ανάμεσα στις υποομάδες της ομάδας Galois και στα ενδιάμεσα σώματα: Η à Ε^Η αντιστρέφει εγκλεισμούς.
	4-12-2014	Βασικό ερώτημα: ποιο ενδιάμεσο σώμα είναι το Ε^G ? Παράδειγμα: εύρεση του Ε^Η όπου E το σώμα ανάλυσης του f(x)=x^4-2 πάνω από το Q και H η κυκλική υποομάδα της ομάδας Gal(E/Q) που παράγεται από τον ομομορφισμό σ όπου σ( 2^1/4)=i2^1/4 και σ(i)=i. Έστω τώρα ότι Ε είναι σώμα ανάλυσης πάνω από το k, [Ε:k]=4, G=Gal(E/k) ενώ Ε^G=F όπου F όχι ίσο με το k. Τότε καταλήγουμε σε άτοπο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ότι ένα ομογενές σύστημα 2 εξισώσεων σε 4 αγνώστους έχει μη μηδενική λύση.
	9-12-2014	Ορισμός: επέκταση Galois πάνω από το k. Απόδειξη του Θεωρήματος ότι Ε^G=k, στη συγκεκριμένη περίπτωση που [Ε:k]=4 όταν E είναι ε.G. πάνω από το k. Ορισμός διακρίνουσας.
	10-12-2014	Πολυώνυμο τρίτου βαθμού, ομάδα Galois και διακρίνουσα.
	11-12-2014	Όλα τα σ.α. του f(x) πάνω από το k είναι ισόμορφα. Αν f(x) είναι διαχωρίσιμο, φ: kàk’ ισομορφισμός σωμάτων, φ^~ : k[x]àk’[x] αντίστοιχος ισομορφισμός, f^~ (x) η εικόνα του f(x), Ε, Ε’ τα αντίστοιχα σ.α. τότε υπάρχoυν ακριβώς [Ε:k] ισομορφισμοί από το ΕàΕ’ που επεκτείνουν τον φ. Άρα αν Ε είναι επέκταση Galois πάνω από το k τότε | Gal(E/k)|= [Ε:k].
	16-12-2014
	17-12-2014
	18-12-2014	Κάθε πεπερασμένο σώμα έχει p^n στοιχεία όπου p είναι η χαρακτηριστική του.
	23-12-2014	Πεπερασμένα σώματα: για κάθε n και πρώτο p υπάρχει πεπερασμένο σώμα με p^n στοιχεία. Παραδείγματα σωμάτων με 8 και 81 στοιχεία. Η πολλαπλασιαστική ομάδα F^* είναι κυκλική (σε αυτές τις περιπτώσεις) και άρα τα αντίστοιχα σώματα είναι της μορφής Z2(b), Z3(c) για τα κατάλληλα b,c. Η ομάδα Galois είναι κυκλική, και ο ομομορφισμός του Frobenius την παράγει.
	8-12-2014	Υπάρχει τύπος για τις ρίζες ενός πολυωνύμου πανω από το F αν και μόνο αν η ομάδα Gal(L/F) είναι επιλύσιμη όπου L σώμα επίλυσης του πολυωνύμου πάνω από το F.

Προτεινόμενα Συγγράμματα:

- Θεωρία Galois του J. Rotman.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του J. Fraleigh.

- Ηλεκρονικές σημειώσεις της διδάσκουσας

Σημειώσεις

Κεφάλαιο 1, ηλεκτρονικές σημειώσεις. (11.11.14)

Κεφάλαιο 2, ηλεκτρονικές σημειώσεις. (11.11.14)

Κεφάλαιο 3, ηλεκτρονικές σημειώσεις (13.12.14)

Κεφάλαιο 4, ηλεκτρονικές σημειώσεις (9.1.15)