3.3. Σχετικές θέσεις δυο επιπέδων
Θεωρούμε τα επίπεδα
, ,
(3.10)
, .
Υποθέτουμε ότι
και
ή, ισοδύναμα, όταν έχουν έννοια τα παρακάτω κλάσματα,
.
Τότε, το σύστημα των εξισώσεων (3.10) δεν έχει λύση ως προς και συνεπώς τα επίπεδα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, δηλαδή, είναι παράλληλα.
Όταν ισχύει
ή, ισοδύναμα,
,
οι δύο εξισώσεις του συστήματος (3.10) είναι ισοδύναμες και σύμφωνα με το θεώρημα της παρατήρησης 16 τα επίπεδα ταυτίζονται (παραλληλία υπό την ευρύτερη έννοια).
,
το σύστημα (3.10) έχει ένα μονοδιάστατο χώρο λύσεων, δηλαδή τα επίπεδα τέμνονται κατά μία ευθεία.
Παρατήρηση 18. Προφανώς, όταν δοθεί επίπεδο , κάθε επίπεδο με εξίσωση
(3.11) , ,
είναι παράλληλο προς το . Αντίστροφα, η εξίσωση κάθε επιπέδου παράλληλου προς το ανάγεται στη μορφή (3.11).
Παράδειγμα 27. Στο χώρο δίνονται τα επίπεδα και . Να εξεταστεί η σχετική θέση τους και να βρεθεί επίπεδο παράλληλο προς το , που διέρχεται από το σημείο .
Λύση. Παρατηρούμε ότι
.
Άρα τα επίπεδα , τέμνονται κατά ευθεία ε με αναλυτικές εξισώσεις
, .
Εξάλλου, κάθε επίπεδο παράλληλο προς το έχει εξίσωση της μορφής (βλ. παρατήρηση 18). Επειδή όμως , είναι . Συνεπώς .