3.3. Σχετικές θέσεις δυο επιπέδων

 

   Θεωρούμε τα επίπεδα

           

,        ,

(3.10)  

,      .

 

Υποθέτουμε ότι

 

 και

 

ή, ισοδύναμα, όταν έχουν έννοια τα παρακάτω κλάσματα,

 

.

 

Τότε, το σύστημα των εξισώσεων (3.10) δεν έχει λύση ως προς  και συνεπώς τα επίπεδα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, δηλαδή, είναι παράλληλα.

   Όταν ισχύει

 

 

ή, ισοδύναμα,

 

,

 

οι δύο εξισώσεις του συστήματος (3.10) είναι ισοδύναμες και σύμφωνα με το θεώρημα της παρατήρησης 16 τα επίπεδα ταυτίζονται (παραλληλία υπό την ευρύτερη έννοια).

   Τέλος, όταν

 

,

 

το σύστημα (3.10) έχει ένα μονοδιάστατο χώρο λύσεων, δηλαδή τα επίπεδα τέμνονται κατά μία ευθεία.

 

Παρατήρηση 18. Προφανώς, όταν δοθεί επίπεδο ,    κάθε επίπεδο  με εξίσωση

 

(3.11)               ,   ,

 

είναι παράλληλο προς το . Αντίστροφα, η εξίσωση κάθε επιπέδου παράλληλου προς το  ανάγεται στη μορφή (3.11).

 

Παράδειγμα 27. Στο χώρο  δίνονται τα επίπεδα  και . Να εξεταστεί η σχετική θέση τους και να βρεθεί επίπεδο  παράλληλο προς το , που διέρχεται από το σημείο .

Λύση. Παρατηρούμε ότι

 

.

 

Άρα τα επίπεδα ,  τέμνονται κατά ευθεία ε με αναλυτικές εξισώσεις

 

,   .

 

Εξάλλου, κάθε επίπεδο  παράλληλο προς το  έχει εξίσωση της μορφής  (βλ. παρατήρηση 18). Επειδή όμως , είναι . Συνεπώς .