ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ με το MATHEMATICA
B.   Ανώτερης Τάξης  ΔΕ

Clear["Global`*"]

Ορισμός

deq1 = (x^2) y''[x] == 
        3 x y'[x] - 4 y[x]
deq1 = (x^2) D[y[x], {x, 2}] == 
        3 x D[y[x], {x, 1}] - 4 y[x]

\(Γενική\ Λύση\)

GeneralSolution = DSolve[deq1,  y, x]
φ[x_] = y[x] /. GeneralSolution[[1]]

\(Πρόβλημα\ Αρχικών\ Τιμών\)

solution = 
      DSolve[{deq1, y[1] == 1,  y'[1] == -1},  y, 
        x]
φ1[x_] = y[x] /. solution[[1]]
Plot[φ1[x], {x, 0.0, 2}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

Ανεπαρκείς Αρχικές Συνθήκες

solution = 
      DSolve[{deq1, y[1] == 1},  y, x]
φ0[x_] = y[x] /. solution[[1]]
Plot[{φ0[x] /. {C[2] -> -1},  φ0[
            x] /. {C[2] -> 0}, φ0[x] /. {C[2] -> 1}}, {x, 
        0.0, 2}]

Παράδειγμα: Αρμονικός Ταλαντωτής με απόσβεση

Διαφορική Εξίσωση με ελεύθερες παραμέτρους

Clear[ω, δ]

    deq =  x''[
            t] +  ω^2  x[t] + δ x'[
              t] ==0   

    GeneralSolution = DSolve[deq, x, t]

Γενικό Πρόβλημα Αρχικών τιμών
x(0)=x0, x'(0)=u0

ω = 1;  δ = 1/2;

    solution = 
      DSolve[{deq, x[0] == x0, x'[0] == u0}, x, 
        t]

Ανάθεση λύσης στη συνάρτηση φ(x) και απλοποίηση της λύσης

φ[t_] = 
      x[t]  /. solution[[1]]  // FullSimplify

Σχεδίαση της λύσης, της παραγώγου της και της Φασικής καμπύλης

Plot[φ[t]  /. {x0 -> 2,  u0 -> 0}, {t, 0, 
        15}]

Plot[φ'[t]  /. {x0 -> 2,  u0 -> 0}, {t, 0, 
        15}]

φ1[
        t_] = φ[t]  /. {x0 -> 2,  
          u0 -> 0}
φ1dot[t_] = φ1'[
          t];
ParametricPlot[{φ1[t], φ1'[t]}, {t, 0, 15},  
      PlotRange -> All]