\documentclass[11pt]{amsart}

\usepackage[greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}

\usepackage{geometry}
\geometry{left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm}
\usepackage{graphicx, amsfonts, amssymb}
\usepackage{mathrsfs, amsmath, amsthm}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{relsize}
\usepackage{epsfig}


%\setlength\textwidth{14cm}

 %\setlength\textheight{9.3in}

\newcommand{\la}{\latintext}



\begin{document}





\centerline{\textbf{ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι,    Χειμ. εξαμ. 2015}}

\vspace{0.2cm} \centerline{ Ασκήσεις, Φυλλάδιο 1}

\vspace{0.4cm}





\begin{enumerate}
\item Βρειτε το συνολο $\Phi_A$ ολων των ανω φραγματων του $A$, και το συνολο $\varphi_A$ ολων των κατω  φραγματων του $A$, οταν:
(α) $Α=\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}: n,m\in \mathbb{N}  \}$,\quad
(β) $Α=\{\frac{n}{n+m}: n,m\in \mathbb{N}  \}$

\item Βρειτε το $\inf$ και $\sup$ (αν  υπαρχουν)
των συνολων
$$
A=\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}: n,m\in \mathbb{N} \}, \quad  B=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}),\quad
C=(0,1)-\bigcup_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n})
$$
$$
D=\{\sqrt{n}+\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\},\quad E=\{x\in \mathbb{R}: x>x^2\},
$$
$$
F=\{r\in (0,1): r=0,r_1r_2r_3..., \,\,r_i\ne 9\,\, \forall i\}.
$$
(το συνολο $F$ αποτελειται απο ολους τους αριθμους $r\in (0, 1)$ των οποιων το δεκαδικο αναπτυγμα δεν περιεχει
το ψηφιο $9$).


\item Αν $A, B$ ειναι μη κενα φραγμενα υποσυνολα του $\mathbb{R}$ δειξετε οτι
το $A\cup B$ ειναι φραγμενο και
$$
\sup (A\cup B)=\max\{\sup A, \sup B\}\qquad \inf(A\cup B)=\min\{\inf A, \inf B\}
$$
\item Αν $A, B$ ειναι μη κενα φραγμενα
υποσυνολα του $\mathbb{R}$, οριζομε
 $A+B=\{a+b: a\in A, b\in B\}$. Δειξετε οτι
$$
\sup(A+B)=\sup A + \sup B\qquad \inf(A+B)= \inf A + \inf B.
$$
\item Εστω $A, B$ μη κενα υποσυνολα
του $\mathbb{R}$ με την ιδιοτητα:
για καθε $a\in A$ και για καθε $b\in B$ ισχυει
$
a\leq b.
$
Δειξετε οτι $\sup A\leq \inf B$.


\item Δειξετε οτι το αθροισμα, το γινομενο και το πηλικο (οταν οριζεται)
δυο ρητων αριθμων ειναι
ρητοι αριθμοι.


\item  (α) Αν $r$ ειναι ρητος και $\alpha$ αρρητος, τοτε το
αθροισμα $r+\alpha$, το γινομενο $r\alpha$ και το πηλικο $\frac{r}{\alpha}$ ειναι
αρρητοι.\newline
(b) Αν $\alpha , \beta$ ειναι αρρητοι, τι μπορουμε να πουμε για το
αθροισμα $\alpha + \beta$, το γινομενο $\alpha \beta$ και
το πηλικο $\frac{\alpha}{\beta}$?

\item Αν $\alpha$ ειναι υπερβατικος αριθμος δειξετε οτι ο  $\alpha^n$ ειναι υπερβατικος για καθε $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$.

\item Δειξετε οτι αν $a,b\in \mathbb{R}$ με $a<b$ τοτε:\newline
(a) στο διαστημα $(a, b)$ υπαρχουν απειροι το πληθος ρητοι αριθμοι.\newline
(b) στο διαστημα $(a, b)$ υπαρχουν απειροι το πληθος αρρητοι αλγεβρικοι αριθμοι.\newline
(γ) στο διαστημα $(a, b)$ υπαρχουν απειροι το πληθος υπερβατικοι  αριθμοι.

\item Γραψετε ως κλασματα ακεραιων οσους απο τους παρακατω αριθμους ειναι ρητοι
$$
\alpha=1,232323..., \,\, \beta =0,101100111000..., \,\, \gamma=0,4999..., \,\,
$$
$$\delta=0,123456789101112...,
\,\,\varepsilon=0,37601601601...
$$

\item Θεωρουμε παραστασεις  της μορφης $x=(a_1, a_2, \cdots a_n, \cdots )$,  οπου $a_k\in \{0,1\}$ για καθε $k=1,2,\cdots$.\\ Π.χ. μια τετοια
παρασταση ειναι η $(1, 0, 0, 1, 1, 0,\cdots, 1, 0, \cdots )$. Θεωρουμε το συνολο
    $A$ ολων αυτων των παραστασεων, δηλ.
$$
A=\{(a_1, a_2, \cdots a_n, \cdots ): a_k=0 \,\,\text{ή} \,\,a_k=1\}.
$$
Δυο τετοιες παραστασεις $x=(a_1, a_2, \cdots a_n, \cdots )$ και $y=(b_1, b_2, \cdots b_n, \cdots )$ θεωρουνται ισες
αν $a_k=b_k$ για καθε $k$.
Δειξετε οτι το συνολο $A$  δεν ειναι αριθμήσιμο.

\item Αποδειξετε τις ταυτοτητες\newline
 $$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (a)\,\, 1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},\quad  x\in\mathbb{R}, x\ne 1, n\in \mathbb{N}
 $$
 $$
 (b)\,\,  x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots +y^{n-1}),\quad  x,y\in \mathbb{R}, n\in\mathbb{N}.
 $$

\item  (a) Αν $b_1, b_2, \cdots, b_n$ ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι με γινομενο $b_1b_2\cdots b_n=1$ δειξετε οτι
$$
b_1+b_2+\cdots +b_n\geq n.
$$
(Υποδ.: Επαγωγη επι του $n$)\newline
(b) Αν $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι δειξετε οτι
$$
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}
$$

\item Για $x\in \mathbb{R}$ και $n\in \mathbb{N}$ δειξετε οτι
$[\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}]$.

\item ($\star$) (α) Για $x\in\mathbb{R}$ θετουμε  $k(x)=x-[x]$, το κλασματικο μερος του $x$, και
θεωρουμε το συνολο
$$
A=\{k(nx): n\in \mathbb{N}\}.
$$
Βρειτε το $\sup A$ και $\inf A$,  οταν $x=\frac{m}{n}$ ειναι ρητος και  οταν $x$ ειναι αρρητος  \newline
($\star$) (β) Βρειτε το $\sup $ και $\inf$ του συνολου
$$
S=\{\sin(n): n\in \mathbb{N}\}.
$$

\end{enumerate}

\end{document}
