Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση

Ύλη

1. Αριθμοί και ακολουθίες.Πραγματικοί αριθμοί, sup και inf.

Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα. Υπακολουθίες.

Ακολουθίες Cauchy. Οριακοί αριθμοί ακολουθίας, limsup και liminf.

2. Σειρές πραγματικών αριθμών. Σύγκλιση σειρών. Κριτήρια

σύγκλισης. Αναδιατάξεις σειρών. Παραστάσεις αριθμών. Το

σύνολο Cantor.

3. Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης. Σχέση μονότονων

συναρτήσεων και συναρτήσεων φραγμένης κύμανσης.

4. Η έννοια της ακολουθίας συναρτήσεων. Σημειακή σύγκλιση.

Ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια

Ομοιόμορφη σύγκλιση και ολοκλήρωση. Ομοιόμορφη σύγκλιση

και παραγώγιση. Σειρές συναρτήσεων. Ομοιόμορφη σύγκλιση σε

μετρικούς χώρους. Δυναμοσειρές.

5. Το θεώρημα Weierstrass.

6. Θεωρία Μέτρου. Άλγεβρες και σ-άλγεβρες συνόλων. Το μήκος

διαστήματος. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue. Μετρήσιμα σύνολα.

Το μέτρο Lebesgue.

Βοηθητικά βιβλία

T. Apostol, Mathematical Analysis. 2^nd Edition. Addison-Wesley 1974.
N. Carothers, Real Analysis. Cambridge Univ. Press 2000.
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. 3^rd edition, McGraw-Hill 1976.
Π. Ξενικάκης, Πραγματική Ανάλυση. 2^η έκδοση, Ζήτη 1999.
Μ. Παπαδημητράκης, Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ, διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://server.math.uoc.gr/~papadim/

Σημειώσεις

Κεφ. 1 και 2,

Κεφ. 3

Κεφ. 4

Κεφ. 5 (υπό ετοιμασία)

Κεφ. 6 (ασκήσεις)

.