Η τάξη επικεντρώνεται σε θέματα προχωρημένης μη γραμμικής δυναμικής που αφορούν σε μη γραμμικό εντοπισμό (nonlinear localization) και φαινόμενα παθητικής καθοδήγησης ενέργειας (targeted energy transfer) για την επίτευξη εντοπισμού σε μη γραμμικά συνεχή μέσα και σε συστήματα συζευγμένων ταλαντωτών. Ειδικότερα θα αναπτυχθούν οι παρακάτω Θεματικές Ενότητες:

Θεματικές Ενότητες (Β. Ρόθος) 

1.       Σύντομη αναφορά σε στοιχεία γεωμετρικής θεωρίας διαταραχών. Ομοκλινικές τροχιές με πολλαπλές μεταβάσεις (multipulse homoclinic orbits). Θεωρία ομοκλινικών μεταβάσεων και διαχωρισμός σε αργό-γρήγορο χάος σε πεπερασμένες διαστάσεις. Αργή-γρήγορη χαοτική συμπεριφορά σε συντηρητικά και μη-συντηρητικά δυναμικά συστήματα. Μερικώς αργές πολλαπλότητες ανώτερης συνδιάστασης. Εφαρμογές της θεωρίας σε συστήματα της Μηχανικής – παραδείγματα.

2.       Μοναχικά Κύματα (Solitary waves), παλμοί, μέτωπα (fronts) σε μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). Εισαγωγικές Εννοιες, ιδιότητες. Εμφαση στις εξισώσεις Korteweg de-Vries (KdV), Nonlinear Schrodinger (NLS), sine-Gordon (SG). Αστάθειες σε εξισώσεις διαμόρφωσης (modulation instabilities). Μετάβαση από την συνεχή στην διακριτή περίπτωση (lattices Klein-Gordon (KG) , Discrete NLS).

3.       Συνάρτηση Evans για την μελέτη ευστάθειας κυματικών λύσεων. Σύνδεση με θεωρία Melnikov, και εφαρμογή της σε διακριτά μοντέλα.

4.       Ομοκλινικές διακλαδώσεις (bifurcations) σε απειροδιάστατα δυναμικά συστήματα. Μελέτη συστημάτων NLS, SG. Ομοκλινικές λύσεις με πολλαπλούς παλμούς. Εγκάρσιες τομές (transverse intersections) ευσταθών πολλαπλοτήτων ανώτερης συνδιάστασης. Θεωρία Melnikov για ΜΔΕ.

 

Θεματικές Ενότητες (Α. Βακάκης)

1.  Μη γραμμικές κυματομορφές (nonlinear normal modes) σε συστήματα συζευγμένων ταλαντωτών. Θεωρητική βάση, ευστάθεια, διακλαδώσεις. Εντοπισμένες μη γραμμικές  κυματομορφές και ‘στατικός’ εντοπισμός ενέργειας. Σύνδεση με θεωρία μοναχικών κυμάτων (solitary waves). Παραδείγματα απο την Μηχανική.

2.        ‘Δυναμικός’ εντοπισμός ενέργειας σε συστήματα συζευγμένων ταλαντωτών, φαινόμενα παθητικής κατευθυνόμενης ενέργειας (targeted energy transfer). Αναλυτικές τεχνικές πολλαπλών κλιμάκων βασισμένες στον διαχωρισμό μεταξύ αργής και γρήγορης δυναμικής, εξισώσεις διαμόρφωσης της αργής δυναμικής (slow flow equations). Μονοβάθμιοι και πολυβάθμιοι ελκυστές ενέργειας. Σύνδεση παθητικής κατευθυνόμενης ενέργειας με την θεωρία μη γραμμικών κυματομορφών. Μεμονωμένες και διαδοχικές συλλήψεις μέσω συντονισμού (transient resonance captures) και σύνδεσή τους με φαινόμενα παθητικής κατευθυνόμενης ενέργειας.

3.       Ισχυρά μη γραμμικές μεταβάσεις (transitions) σε διαγράμματα ενέργειας – συχνοτήτων (ΔΕΣ), και κυματιδιακή ανάλυση. Μελέτη πολύπλοκων μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων μέσω ανάλυσής τους σε ΔΕΣ. Παραδείγματα σε συστήματα της Μηχανικής.

4.       Εφαρμογές της θεωρίας παθητικής κατευθυνόμενης ενέργειας στην μη γραμμική εξάλειψη αεροελαστικών ασταθειών, στην αντισεισμική τεχνολογία, και στην σχεδίαση τεχνικών παθητικής εξάλειψης διαταρχών σε ελαστικά συνεχή.

 

Βιβλιογραφία

1.        M. Ablowitz and P. Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering Cambridge University Press, 1991.

2.        Collet, P. and Eckmann, J.-P. Instabilities and fronts in extended systems. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990.

3.        E. Infeld and G. Rowlands, Nonlinear waves, solitons and chaos, Cambridge University Press, 1990.

4.        A.F. Vakakis, L.I. Manevitch, Y.V. Mikhlin, V.N. Pilipchuk, A.A. Zevin, Normal modes and localization in nonlinear systems,.John Wiley & Sons, 1996.

5.        F. Verhulst, Nonlinear differential equations and dynamical systems, Springer Verlag, 2003.

6.        R.H.Rand, Lecture Notes on Nonlinear Vibrations, downloadable from http://www.tam.cornell.edu/faculty-bio.cfm?NetID=rhr2

7.        A.H. Nayfeh, D. Mook, Nonlinear Oscillations, Wiley Interscience, New York, 1985.

8.      G. Haller, Chaos near resonances, Springer 1999.

9.        A.F. Vakakis, O. Gendelman, L.A. Bergman, D.M. McFarland, G. Kerschen, Nonlinear Targeted Energy Transfer in Mechanical and Structural Systems, Springer Verlag (due 2008).