ΑΚΕΡΑΙΟΙ  ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ

 

 

 

1.1         ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 

Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για  τη διδασκαλία των πράξεων των ακεραίων στηρίζονταν στο τυπικό μοντελοποιημένο πλαίσιο του σχολικού βιβλίου. Ουδέποτε οι μαθητές αναρωτήθηκαν ή αναζήτησαν περισσότερα πράγματα από όσα τους έδινα.

Φέτος διδάσκω το θέμα αυτό στο Β΄ έτος του ΣΔΕ Ιωαννίνων, σε ανθρώπους ενήλικες, όπου το μοντελοποιημένο, φορμαλιστικό, αποδεικτικό πρότυπο δεν τους ικανοποιεί.

Οι ενήλικες είναι σαν την παιδική ψυχή, που αναζητά το γιατί, θέλοντας να στηρίξει τη γνώση που προέρχεται απ’ όσα βλέπει, ακούει, αισθάνεται. Άρα, μια μέθοδος που θα ερευνά και θα ανακαλύπτει το γιατί, που θα  οδηγεί στα θεμέλια της γνώσης, θα την θεμελιώνει και θα κάνει τον μαθητή ικανό να μην την ξεχνά εύκολα, να μην την μπερδεύει και κυρίως να νιώθει σιγουριά, είναι απαίτηση του εκπαιδευόμενου και ζητούμενο του εκπαιδευτικού.   

Ανέτρεξα, λοιπόν, στη βιβλιογραφία Διδακτικής των Μαθηματικών και κατέληξα σε εναλλακτικούς τρόπους παρουσίασης και διδακτικής προσέγγισης του αντικειμένου.

Θεώρησα καλό να γράψω όλα αυτά ως υλικό, για όσους συναδέλφους θα ήθελαν να το συμβουλευτούν.


 

1.2         ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ             ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

 

Ο Πρώσος μαθηματικός του 19ου αιώνα Leopold  Kronecker είπε ότι: «Οι Φυσικοί αριθμοί είναι δώρο του Θεού προς τους ανθρώπους, όλα τα υπόλοιπα, είναι κατασκευάσματα των ανθρώπων.» Όσο και αν δε θελήσουμε να δεχτούμε τη θεϊκή καταγωγή των μαθηματικών, δε θα μπορέσουμε να αρνηθούμε την αδυναμία μας να περιγράψουμε με φυσικούς αριθμούς όλα τα μεγέθη και φαινόμενα της ανθρώπινης καθημερινότητας.

Η άνεση, η ευχέρεια και εξοικείωση του δασκάλου των μαθηματικών με τους αρνητικούς αριθμούς, δε θα πρέπει να τον οδηγήσει στην παράβλεψη των δυσκολιών της διδασκαλίας τους στο σχολικό επίπεδο. Η παράγραφος αυτή αποδεικνύει, ότι αυτός ο οποίος έχει κατανοήσει τα μαθηματικά δεν είναι κατ΄ ανάγκη σε θέση και να τα διδάξει.

Ο καλύτερος τρόπος για να εξηγήσει κανείς στους μαθητές τις δυσκολίες που εμφανίζονται στους αρνητικούς αριθμούς, είναι εκείνος που βοηθά να κατανοήσουν σε βάθος μια μαθηματική έννοια. Η Γενετική- Ιστορική μέθοδος δηλαδή, που εξετάζει την έννοια στα διάφορα στάδια ανάπτυξης και εξέλιξής της.

 

1.3         ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

 

Η πάλη των ιδεών γύρω από τη σημασία των αρνητικών αριθμών και ο αγώνας για την τελική της επικράτηση με τη σημερινή τους μορφή, καθυστέρησε το εννοιολογικό τους ξεκαθάρισμα και δυσκόλεψε τα πράγματα.

 Περισσότερα από 1.500 χρόνια χρειάστηκαν, από την εποχή του Διόφαντου, μέχρι να θεωρηθούν οι κανόνες των προσήμων ως αποδεκτοί και να νομιμοποιηθούν (Arcaviet et al. 1982, Hefendehl- Hebeker 1991)

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, επηρεασμένοι από την Πλατωνική αντίληψη γεωμετροποίησης των μαθηματικών, γνώριζαν μεν τους αρνητικούς αριθμούς, αλλά θεωρούσαν αδύνατη κάθε εξίσωση με αρνητικές ρίζες.

Ο Διόφαντος (250 μ.Χ) εξηγούσε το « αρνητικό» σαν «αυτό που υπολείπεται».

Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν ένα υπολογιστικό μηχάνημα στο οποίο οι αριθμητικές σειρές ήταν χρωματισμένες κόκκινες και μαύρες για να ξεχωρίζουν τους θετικούς από τους αρνητικούς αριθμούς.

Οι Ινδοί από τον 7ο αιώνα, φαίνεται να χρησιμοποιούν τους αρνητικούς, σε εμπορικά προβλήματα με έλλειμμα. Δεν χρησιμοποιούσαν το στους αρνητικούς, αλλά τον αριθμό μέσα σε κύκλο π.χ. ©= -C

Άραβας μαθηματικός του 9ου αιώνα, τοποθετούσε τον κύκλο πάνω από τον αριθμό.

Μέχρι το 15ο αιώνα- αρχές του 16ου, πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί, αρνούνται  να δεχθούν τους αρνητικούς αριθμούς. Οι αρνητικοί αρχίζουν να κερδίζουν την εμπιστοσύνη των μαθηματικών από τις εργασίες του Albert Girard (1629).  Αντιφάσεις και σύγχυση επικρατούσε όμως κατά τον 17ο και 18ο αιώνα από πολλούς μαθηματικούς. Τον 19ο αιώνα δόθηκε η πραγματική εξήγηση των ιδιοτήτων των αρνητικών.

 

1.4         ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

 

Αν θέλουμε να κατανοήσουμε και ερμηνεύσουμε την έκφραση < κάτω από το μηδέν> θα μπορούσαμε να σκεφτούμε τη <σκάλα> των ακεραίων.

 

Ομοίως αν συνεχίσουμε τον άξονα- αριθμογραμμή των Φυσικών αριθμών προς τα αριστερά του μηδενός, θα έχουμε τον άξονα των ακεραίων

 

Η απόσταση κάθε αριθμού από το μηδέν ονομάζεται απόλυτη τιμή και είναι πάντα θετικός αριθμός.

 

 

1.5         ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

 

ΠΡΟΣΘΕΣΗ  ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

 

 

 

 

ΑΦΑΙΡΕΣΗ

 

Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι και ο μειωτέος μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο, τότε είναι σαν να αφαιρούμε από έναν αριθμό από λευκά ή μαύρα τόσα όσα δηλώνει ο αφαιρετέος.

 

Αφαίρεση ετεροσήμων αριθμών, π.χ. (-5) – (+4)

 

 

 

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

 

vΓινόμενο ετεροσήμων αριθμών π.χ (-3). (+2)

 

Α΄  ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ

 

 

Β΄ ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟΥ

 

Δίνεται το παρακάτω πρότυπο

 

Παράγοντες

Γινόμενο

3.2

6

2.2

4

1.2

2

0.2

0

-1.2

?

-2.2

?

-3.2

?

 

Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι, όταν ο πολλαπλασιαστής ελαττώνεται κατά μια μονάδα κάθε φορά, το γινόμενο ελαττώνεται κατά 2 μονάδες. Έτσι, λογικά, μετά το 0 θα πάει στο -2, -4. -6

Έτσι  (-3). (+2) = -6 Επομένως το γινόμενο ετεροσήμων είναι αρνητικός αριθμός.

 

 

 

vΓινόμενο αρνητικών αριθμών π.χ (-3)* (-2)

 

Α΄  ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ

 

 

 

 

 

 

 

 

Β΄  ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟΥ

 

Παράγοντες

Γινόμενο

3.(-2)

-6

2.(-2)

-4

1.(-2)

-2

0.(-2)

0

-1.(-2)

?

-2.(-2)

?

-3.(-2)

?

 

Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι, όταν ο πολλαπλασιαστής ελαττώνεται κατά μια μονάδα κάθε φορά, το γινόμενο αυξάνει κατά 2 μονάδες. Έτσι, λογικά, μετά το 0 θα πάει στο 2, 4. 6

Έτσι  (-3). (-2) = 6 Επομένως το γινόμενο αρνητικών είναι θετικός αριθμός.

 

Γ΄ ΤΡΟΠΟΣ : ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

 

               μ

α

 
β

 

 

Αν πολ/σουμε το διάνυσμα  μ με το (-3) παίρνουμε το διάνυσμα

α= (-3) μ. Αν τώρα πολ/σουμε το α με το (-2)  παίρνουμε  το β=(-2)α=(-2).(-3)μ, έχει την φορά του μ και είναι, όπως φαίνεται, εξαπλάσιο του, δηλαδή β=6μ και συνεπώς (-2).(-3)=6

 

 

 

 

Δ΄ ΤΡΟΠΟΣ: Η < ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ > ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

 

 

Οι κανόνες προσήμων δίνονται εξ ορισμού ως:

(+ ).(+)=(+),   (-).(-)=(+),

 (-).(+)=(-),   (+).(-)=(-)

 

Η μέθοδος αυτή δεν πείθει τον μαθητή, γι’ αυτό ο δάσκαλος καταφεύγει πολλές φορές σε κάποια παραδείγματα μοντέλων φυσικής ερμηνείας, όπως:

 

Παράδειγμα 1ο

Συμβολίζω με ( +) τον φίλο και με (-) τον εχθρό, οπότε:

Ο φίλος του φίλου= φίλος     δηλαδή  (+ ).(+)=(+)

Ο φίλος του εχθρού= εχθρός  δηλαδή (+).(-)=(-)

Ο εχθρός του φίλου= εχθρός δηλαδή (-).(+)=(-)

 Ο εχθρός του εχθρού= φίλος δηλαδή   (-).(-)=(+)

 

  Παράδειγμα  2ο  

 

Συμβολίζω με (+) το άνοιγμα του καταστήματος και το κέρδος, και με (-) το κλείσιμο και τη ζημία, οπότε:

Αν ένα κατάστημα κάθε μέρα που είναι ανοιχτό, έχει ζημία 300 ευρώ τότε αν κλείσει 3 μέρες θα έχει κέρδος  900 ευρώ δηλαδή:

(-300).(-3)=(+900)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6         ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

 

 ΠΟΛΥΔΟΥΡΗΣ, Β. (1995). Η Αριθμητική των ακεραίων. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αφοι Κυριακίδη ΑΕ.

 

ΤΟΥΜΑΣΗΣ, ΜΠ. (1994). Σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών. Εκδόσεις Gutenberg.

 

ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙΔΗΣ, Α. ΤΡ. και ΣΔΡΟΛΙΑΣ, Α.Κ. (2000). Βασικές μαθηματικές έννοιες για τον εκπαιδευτικό της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Αθήνα: Εκδόσεις Τυπωθήτω.

 

ΧΑΛΑΤΣΗΣ, Α. (1990). Αριθμητική. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήση.

 

Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και εκπαίδευσης (2001). Ευκλείδη στοιχεία, Τόμοι Ι, ΙΙ , και ΙΙΙ. Αθήνα