Εισαγωγή στην Άλγεβρα

Χαρά Χαραλάμπους Hara Charalambous

Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Τμήμα Β

Ακ. Έτος 2014-2015

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο Χρήσιμο Υλικό

Γενικές Πληροφορίες

Διδάσκουσα: Καθ. Χαρά Χαραλάμπους Email: hara@math.auth.gr, http://users.auth.gr/hara/ Γραφείο: ΣΘΕ, 3ος όροφος, #7 Τηλ.: 2310-997934 Ώρες Διαλέξεων: Τρίτη 9-10, (Δ31), Τετάρτη 3-4 (Δ21), Πέμπτη 9-10 (Δ31) Ώρες Συνεργασίας: Τρίτη 10-12, Τετάρτη 4-5


Αίθουσα Ερωτήσεων/Αποριών για μαθήματα α΄εξαμήνου:	Μ0, Δευτέρα 9-11, 1- 3 (Γραμμική Άλγεβρα, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Λογισμός Ι)

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ασκήσεις Ηλεκτρονικές σημειώσεις

Περιγραφή

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει τα εξής θέματα:

Σύνολα, Συναρτήσεις. Σχέσεις ισοδυναμίας και σχέσεις διάταξης. Πράξεις σε σύνολο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή. Αρχή της καλής διάταξης. Αριθμήσιμα σύνολα. Το διώνυμο του Νεύτωνα. Στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης. Ομάδες, Δακτύλιοι, Σώματα: ορισμοί και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των ακεραίων. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί. Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη. ΜΚΔ, ΕΚΠ. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων mod n. Το σώμα Ζp. Γραμμικές ισοδυναμίες. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις.

Αξιολόγηση Μαθήματος

Θα έχουμε 3 προόδους διάρκειας 60 λεπτών ΚΑΙ τη τελική αξιολόγηση.

Για τον τελικό βαθμό μετράνε

οι βαθμοί των των προόδων: 60%

ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 40% (αν > 3.5)

και μόνο αν ο παραπάνω συνδυασμός είναι μεγαλύτερος του βαθμού της τελικής εξέτασης.

Διαφορετικά μετρά μόνο ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 100%

Για παράδειγμα:

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3.5 Άθροισμα: 5.6 Τελικός βαθμός: 6

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3 Άθροισμα: 5.4 Τελικός βαθμός: 3

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 8 Άθροισμα: 7.4 Τελικός βαθμός: 8

Μέσος όρος προόδων: 1 Βαθμός τελικής εξέτασης: 5 Άθροισμα: 2.6 Τελικός βαθμός: 5

Ημερομηνίες για τα διαγωνίσματα : πρώτη πρόοδος: Δευτέρα 3 Νοεμβρίου. Δεύτερη πρόοδος: Δευτέρα 8.12.2014.

Οι φοιτητές θα πρέπει να ελέγχουν τακτικά την ιστοσελίδα του μαθήματος για τυχόν αλλαγές στις ημερομηνίες και άλλες πληροφορίες. Η αντιγραφή θα τιμωρείται με αποκλεισμό από τις εξετάσεις.

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις

· Οι βαθμοί των τριων προόδων. Για τη τελική εξέταση καλό θα είναι να εξασκηθείτε και στις ασκήσεις των τριών προόδων. Η εφαρμογή του Ευκλειδείου αλγορίθμου στη δεύτερη πρόοδο ήταν προβληματική. Σημείωση: για να λυθεί η εξίσωση ax=b mod m όταν (a,m)=1 αρκεί να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με τον αριθμό c όπου c a =1 mod m (δηλ. τον αντίστροφο του a στο Ζ_m).

· Οι ώρες συνεργασίας αύριο Τετάρτη 14.1.2015 θα είναι 12-1, 4-5.

· Η τρίτη πρόοδος θα γίνεις Πέμπτη 15.1.2015, 9-10 στη Δ31. Η ύλη της τρίτης προόδου: διαιρετότητα με m (πηγαίνοντας mod m), τελευταία 1 ή 2 ψηφία (πηγαίνοντας mod 10 και mod 100), ύπαρξη δύναμης t έτσι ώστε ώστε n^t=1 mod m αν (n,m)=1, ομάδες, (κατάταξη ομάδων τάξης 1,2,3,4,5), ισομορφισμοί ομάδων, τάξη στοιχείων ομάδας, οι ομάδες Ζ_m και Ζ_p\ {0}, (βλ. σύνολα ασκήσεων 8 και 9)

· Η δεύτερη πρόοδος θα γίνεις Δευτέρα 8.12.2014, 10-11 στην αίθουσα Εμπειρίκος. Η ύλη της δεύτερης προόδου είναι: Θεώρημα Διαίρεσης. Αναπαράσταση σε βάση διαφορετική του 10. Μαθηματική επαγωγή, δεύτερη μορφή. Απόδειξη ότι κάθε φυσικός αριθμός έχει μία αναπαράσταση σε βάση b>1, b ακέραιος. Δεκαδική ανάπτυξη ρητών. Κοινοί διαιρέτες, μέγιστος κοινός διαιρέτης, Ευκλείδειος αλγόριθμος. Ταυτότητα του Bezout, κάθε κοινός διαιρέτης διαιρεί τον μέγιστο κοινό διαιρέτη, ένας φυσικός αριθμός >1 είναι πρώτος αν και μόνο αν οι μόνοι διαιρέτες του είναι το 1 και ο ίδιος ο αριθμός. Κάθε φυσικός αριθμός που δεν είναι πρώτος έχει έναν διαιρέτη μεγαλύτερο της μονάδας και το πολύ ίσο με τη τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Το κόσκινο του Ερατοσθένη. Κάθε φυσικός αριθμός >1 έχει έναν πρώτο διαιρέτη (χρήση μαθ. Επαγωγής, β’ μορφή). Υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής: ύπαρξη ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων και μοναδικότητα με χρήση της μαθ. Επαγωγής (μορφή β’). Επανάληψη: το σύνολο Z_m , ο m διαιρεί τον n αν και μονο αν n=0 mod m. Aν a = a₁ mod m και b =b₁ mod m τοτε a + b = a₁ + b₁ mod m, a b = a₁ b₁ mod m, c aⁿ = c a₁ⁿ mod m. Κριτήριο διαιρετότητας με το 3.

· Θα γίνει αναπλήρωση ώρας τη Παρασκευή 12.12.2014, 10-11 στην αίθουσα Εμπειρίκος.

· Οι βαθμοί της α’ς προόδου: grades

· Η ώρα της Τετάρτης 19.11.2014 δε θα γίνει και θα αναπληρωθεί.

· Ώρες συνεργασίας με φοιτητές: 10-11 π.μ., Παρασκευή 31.10.14.

· Η πρόοδος θα περιλαμβάνει και κάποιες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Θα υπάρξει αρνητική βαθμολογία.

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ημερολόγιο Μαθήματος

Διάλεξη	Ημερομηνία	Ύλη Εβδομάδας
	30/9/2014	Σύνολα, Δυναμοσύνολα. Σύγκριση συνόλων {1,2,3} με {1,2,{3}}. Πληθυκότητα δυναμοσυνόλου. ΚΑΘΕ σύνολο με 3 στοιχεία έχει ακριβώς 8 υποσύνολα. ΚΑΘΕ σύνολο με 4 στοιχεία έχει ακριβώς 16 υποσύνολα.
	1/10/2014	Περιγραφή Μεθόδου Μαθηματικής Επαγωγής. Προετοιμασία για την γενική απόδειξη: πέρασμα από τη πληθυκότητα του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου με 3 στοιχεία, στην αντίστοιχη πληθυκότητα ενός συνόλου με 4 στοιχεία. Μία «αρίθμηση» του Ζ. Αμφιμονότιμη και Επί συνάρτηση. Υπάρχει αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση ανάμεσα στο Ν και στο Ζ.
	2/10/2014	Απόδειξη με Μαθηματική Επαγωγή: αν \|Α\|=n τότε \|P(A)\|=2ⁿ \|Α\cup B\|=\|A\|+\|B\|-\|A\cap B\|. Παράδειγμα.
	3/10/2014	Πρώτο Σετ ασκήσεων
	7/10/2014	καρτεσιανό γινόμενο, συνάρτηση ως τριάδα (πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, τύπος), (πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες), ταυτοτική συνάρτηση, (1:1 και επί), ρίζα 2 δεν είναι ρητός,
	8/10/2014	Απόδειξη (ξανά) για ρίζα 2, (μνεία του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής και το τι εναι πρώτος), άσκηση ρίζα του 3 δεν είναι ρητός, (με χρήση του Ευκλείδιου αλγορίθμου), σχέση σε σύνολο, σχέση ισοδυναμίας, σχεση σε συνολο, αντανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική , παραδείγματα σχέσεων στο Α={1,2,3,a,b}, άσκηση: να κατασκευάσετε μία σχέση ισοδυναμίας R στο Α γνωρίζοντας ότι 1Ra, αR3, bR2
	9/10/2014	Σχέση ισοδυναμίας modulo m, κλάσεις ισοδυναμίας. Υπάρχουν 2 κλάσεις ισοδυναμίας modulo 2. Παραδείγματα.
	10/10/2014	Δεύτερο Σετ ασκήσεων
	14/10/2014	Ορισμός, συμβολισμός και ιδιότητες κλάσεων ισοδυναμίας. Αν R είναι σχέση ισοδυναμίας στο Α, οι κλάσεις ισοδυναμίας δίνουν μία διαμέριση του Α. Ευκλείδειος αλγόριθμος.
	15/10/2014	Υπάρχουν m κλάσεις ισοδυναμίας modulo m. Σε κάθε διαμέριση αντιστοιχεί μία κλάση ισοδυναμίας. Παραδείγματα.
	16/10/2014	Παραδείγματα: σχέση ισοδυναμίας σε καρτεσιανό γινόμενο. Απόδειξη ότι ρίζα 3 δεν είναι ρητός. Ορισμός πρώτων αριθμών. Άσκηση: ρίζα του 101 δεν είναι ρητός.
	19/10/2014	Τρίτο Σετ ασκήσεων
	21/10/2014	Λύση ασκήσεων (καρτεσιανά γινόμενα). Ορισμός πρώτου: αν p διαιρεί ab τοτε p διαιρει a ή b. Θεωρώντας ότι συγκεκριμένος p είναι πρώτος τότε p^1/2 δεν είναι ρητός. (Ανάγκη για εύρεση κριτηρίων πότε p είναι πρώτος---(αργότερα με ευκλείδιο αλγόριθμο, θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, μέγιστος κοινός διαιρέτης. Να δείξετε ότι 2^1/3δεν είναι ρητός. Να δείξετε ότι 6^1/2δεν είναι ρητός. Ορισμός και βασικές προτάσεις για αριθμήσιμα σύνολα.
	22/10/2014	Ορισμός και βασικές προτάσεις για αριθμήσιμα σύνολα. Διαγωνιοποίηση του Cantor: απόδειξη ότι οι πραγματικοί στο διάστημα (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο και άρα R δεν είναι αριθμήσιμο και άρα οι μη ρητοί δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο. Αριθμήσιμη ένωση αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμο σύνολο.
	23/10/2014	Υπόθεση του συνεχούς. Απόδειξη ότι το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει πληθυκότητα 2ⁿ χρησιμοποιώντας συνδυαστική και αντιστοιχώντας σε κάθε υποσύνολο του συνόλου μία n-ακολουθία με τιμές 0 και 1. Το δυναμοσύνολο του N δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο. Επανάληψη μαθηματικής επαγωγής.
	24/10/2014	Τέταρτο Σετ Ασκήσεων
	29/10/2014	Ασκήσεις από τα φυλλάδια ασκήσεων
	30/10/2014	Ασκήσεις από τα φυλλάδια ασκήσεων
	31/10/2014	Ώρες συνεργασίας με φοιτητές: 10-11
	3/11/2014	Πρώτη πρόοδος
	4/11/2014	Σχέσεις διάταξης: παραδείγματα, ελάχιστα και μέγιστα στοιχεία, παράδειγμα: στο σύνολο Α={ {1},{2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}} με σχέση διάταξης τον εγκλεισμό, υπάρχει ένα μέγιστο στοιχείο, και δύο ελάχιστα στοιχεία. Αρχή της καλής διάταξης—Ισοδύναμη με το αξίωμα της μαθηματικής Επαγωγής.
	5/11/2014	Θεώρημα Διαίρεσης Ακεραίων. Αναπαράσταση σε βάση διαφορετική του 10.
	6/11/2014	Μοναδικότητα υπολοίπου-πηλίκου στο θεώρημα Διαίρεσης. Μαθηματική επαγωγή, δεύτερη μορφή. Απόδειξη ότι κάθε φυσικός αριθμός έχει μία αναπαράσταση σε βάση b>1, b ακέραιος. Δεκαδική ανάπτυξη ρητών.
	6/11/2014	Πέμπτο Σετ Ασκήσεων
	11/11/2014	Κοινοί διαιρέτες, μέγιστος κοινός διαιρέτης, Ευκλείδειος αλγόριθμος.
	12/11/2014	Ταυτότητα του Bezout, κάθε κοινός διαιρέτης διαιρεί τον μέγιστο κοινό διαιρέτη, ένας φυσικός αριθμός >1 είναι πρώτος αν και μόνο αν οι μόνοι διαιρέτες του είναι το 1 και ο ίδιος ο αριθμός. Έστω d=(a,b). Πόσες λύσεις x,y υπάρχουν έτσι ώστε d=ax+by?
	13/11/2014	Κάθε φυσικός αριθμός που δεν είναι πρώτος έχει έναν διαιρέτη μεγαλύτερο της μονάδας και το πολύ ίσο με τη τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Το κόσκινο του Ερατοσθένη. Θέλουμε να αποφασίσουμε αν ο 1003 είναι πρώτος: πως θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το κόσκινο του ερατοσθένη?
	18/11/2014	Κάθε φυσικός αριθμός >1 έχει έναν πρώτο διαιρέτη (χρήση μαθ. Επαγωγής, β’ μορφή). Υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Πόσοι πρώτοι υπάρχουν της μορφής a³-1? Έστω ότι p, p+2,p+4 είναι πρώτοι. Πόσος είναι ο p? Έστω ότι p είναι πρώτος και ότι p=6k+r όπου r το υπόλοιπο από τον αλγόριθμο διάιρεσης. Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να έχει ο r.
	19/11/2014	Η ώρα δε θα γίνει και θα αναπληρωθεί.
	20/11/2014	Διαδικασία απόδειξης: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 3n+2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 4n+3. Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής.
	21/11/2014	Έκτο Σετ Ασκήσεων
	25/11/2014	Λύση ασκήσεων πρώτης προόδου, ασκήσεις: εύρεση μέγιστο κοινού διαιρέτη με χρήση του Ευκλειδείου αλγορίθμου, ταυτότητα του Bezout, δεκαδική επέκταση και ρητός. (Οι ασκήσεις έγιναν από τον υποψ. Διδάκτορα κ. Κ. Καραγιάννη).
	26/11/2014	Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής: ύπαρξη ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων και μοναδικότητα με χρήση της μαθ. Επαγωγής (μορφή β’).
	27/11/2014	Επανάληψη: κλάσεις ισοδυναμίας modulo m, το σύνολο Z_m , ο m διαιρεί τον n αν και μονο αν n=0 mod m. Aν a = a₁ mod m και b =b₁ mod m τοτε a + b = a₁ + b₁ mod m, a b = a₁ b₁ mod m, c aⁿ = c a₁ⁿ mod m. Κριτήριο διαιρετότητας με το 3.
	28/11/2014	Έβδομο Σετ Ασκήσεων (αν χρειαστείτε βοήθεια δοκιμάστε αυτόν το σύνδεσμο: Έβδομο Σετ Ασκήσεων με Υποδείξεις ) Μάλλον δε θα προλάβουμε να λύσουμε τις ασκήσεις στις ώρες του μαθήματος. Καλό θα είναι να χρησιμοποιήσετε την αίθουσα αποριών/ερωτήσεων Μ0, Δευτέρα 9-11 και 1-3.
	2/11/2014	Διαιρετότητα με το 9, 7, 4,25.
	3/11/2014	Βρίσκοντας το υπόλοιπο δυνάμεων ακεραίων μετά τη διαίρεση με m (περνώντας mod m), τελευταία ψηφία δυνάμεων ακεραίων.
	4/12/2014	7²⁰⁰⁹ είναι ισοδύναμο με το 7 mod 10. Αναφορά: αν (n,m)=1 τότε υπάρχει φυσικός αριθμός t>1 (ο ίδιος για όλα τα n με την ιδιότητα (n,m)=1) έτσι ώστε n^t=1 mod m. Επανάληψη για πρόοδο: παραδείγματα με εφαρμογή της ταυτότητα του Bezout και ιδιότητες του μέγιστου κοινού διαιρέτη, για το πότε υπάρχει x, έτσι ώστε δοθέντων a, c, m να έχει λύση η εξίσωση ax=c mod m.
	8/12/2014	Δεύτερη πρόοδος
	9/12/2014	Απόδειξη: αν (n,m)=1 τότε υπάρχει φυσικός αριθμός t>1 έτσι ώστε n^t=1 mod m. Ορισμός πράξης σε ένα σύνολο, παραδείγματα. Αν (n,8)=1 να βρεθεί φυσικός αριθμός t>1 έτσι ώστε n^t=1 mod 8.
	10/12/2014	Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο Ζ_n είναι καλά ορισμένες πράξεις.
	11/12/2014	Ορισμός και παραδείγματα ομάδων. Το Ζ₃ ειναι ομάδα.
	12/12/2014	Η ομάδα (Ζ₃, +) έχει την ίδια δομή με την ομάδα (Ζ₄^, ) και είναι ισόμορφες. Υπάρχει μόνο μία ομάδα (με προσέγγιση ισομορφίας) με 1, 2,3 στοιχεία. Πόσες ομάδες υπάρχουν (με προσέγγιση ισομορφίας) με 4 στοιχεία?
	13/12/2014	Όγδοο Σετ Ασκήσεων
	16/12/2014
	17/12/2014
	18/12/2014
	8/1/2015
	11/1/2015	Ένατο Σετ Ασκήσεων


	15/1/2015	Τρίτη Πρόοδος

Τα βασικά εγχειρίδια του μαθήματος είναι:

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα της Κ. Κάλφα.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του Ε. Ψωμόπουλου.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του J. Fraleigh.

Θέματα προηγουμένων ετών

Ηλεκτρονικές σημειώσεις του Ε. Ψωμόπουλου

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Χρήσιμο Υλικό