Εισαγωγή στην Άλγεβρα

Εισαγωγή στην Άλγεβρα
Ακ. Έτος 2013-2014

Διδάσκουσα:

– URL –

Γραφείο – Τηλ.:

Ώρες φοιτητών:

Καθηγήτρια Χαρά Χαραλάμπους

hara@math.auth.gr -

http://users.auth.gr/hara/ -

ΣΘΕ 3ος όροφος, #7

2310997934

Πέμπτη 1-3, Αίθουσα Δ31

Ώρες Διαλέξεων:

Τρίτη 8-10 και Πέμπτη 8-10

Αίθουσα Δ31

Ώρες Ασκήσεων:

Πέμπτη 1-3, Αίθουσα Δ31

Ροδή Λύκου, Παγώνα Κουλακίδου, Παύλος Μαραντίδης

Ηρώ Ελευθεριάδου, Νικόλαος Επταμηνιτάκης, Χαρά Χαραλάμπους

Χρήστος Τσολάκης, Νίκος Τογανίδης, Αικατερίνη Χρυσάφη

Τριανταφυλλιά Ορφανίδου, Νικολέτα Τερζίδου, Νικόλαος Κολώκας

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ασκήσεις Ηλεκτρονικές σημειώσεις

Περιγραφή

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει τα εξής θέματα:

Σύνολα, Συναρτήσεις. Σχέσεις ισοδυναμίας και σχέσεις διάταξης. Πράξεις σε σύνολο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή. Αρχή της καλής διάταξης. Αριθμήσιμα σύνολα. Το διώνυμο του Νεύτωνα. Στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης. Ομάδες, Δακτύλιοι, Σώματα: ορισμοί και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των ακεραίων. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί. Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη. ΜΚΔ, ΕΚΠ. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων mod n. Το σώμα Ζp. Γραμμικές ισοδυναμίες. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις.

Αξιολόγηση Μαθήματος

Θα έχουμε 3 προόδους διάρκειας 60 λεπτών.

Για τον τελικό βαθμό μετράνε

οι βαθμοί των των προόδων: 60%

ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 40% (αν > 3.5)

και μόνο αν ο παραπάνω συνδυασμός είναι μεγαλύτερος του βαθμού της τελικής εξέτασης.

Διαφορετικά μετρά μόνο ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 100%

Για παράδειγμα:

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3.5 Άθροισμα: 5.6 Τελικός βαθμός: 6

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3 Άθροισμα: 5.4 Τελικός βαθμός: 3

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 8 Άθροισμα: 7.4 Τελικός βαθμός: 8

Μέσος όρος προόδων: 1 Βαθμός τελικής εξέτασης: 5 Άθροισμα: 2.6 Τελικός βαθμός: 5

Ημερομηνίες για τα διαγωνίσματα : 8/11/2013,9/12/2013 και 21/01/2014 (στη διάρκεια του μαθήματος). Η ύλη για τη τρίτη πρόοδο είναι ότι έχει καλυφθεί από τις 5/12/2013 και μετά όπως αναγράφεται στο ημερολόγιο του μαθήματος. Οι φοιτητές θα πρέπει να ελέγχουν τακτικά την ιστοσελίδα του μαθήματος για τυχόν αλλαγές στις ημερομηνίες και άλλες πληροφορίες. Η αντιγραφή θα τιμωρείται με αποκλεισμό από τις εξετάσεις.

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις

· Επισκεφτείτε τον σύνδεσμο αξιολόγηση-ηλεκτρονικό ερωτηματολόγιο για μία τελική ερώτηση σχετική με τις ώρες ασκήσεων.

· Tελικοί βαθμοί: Τη Παρασκευή 14.03.2014, 10-1 μπορείτε να έρθετε να δείτε το γραπτό σας. Οι βαθμοί θα κατατεθούν στη γραμματεία το απόγευμα της ιδίας μέρας.

· Βαθμοί τρίτης προόδου. Το αρχείο δείχνει επίσης το μέσο όρο των προόδων, και τον μέσο όρο πολλαπλασιασμένο με 60%. Εάν δεν ήρθατε στη τρίτη πρόοδο, ο βαθμός σας δεν εμφανίζεται σε αυτή τη λίστα. Θα πρέπει να τον υπολογίσετε μόνοι σας, (βάζοντας 0 στις θέσεις των προόδων στις οποίες δεν εξεταστήκατε). Αν ο μέσος όρος πολλαπλασιασμένο με 60% είναι μικρότερος του 3.1 τότε χρειάζεστε τουλάχιστον 5 στη τελική εξέταση.

· Θέματα και λύσεις της τρίτης προόδου έχουν αναρτηθεί στον σύνδεσμο quiz3.

· Ώρες φοιτητών: Τετάρτη 29 Ιανουαρίου, 11-12, Παρασκευή 31 Ιανουαρίου 1-2, Τρίτη 4 Φεβρουαρίου 11-1. Μπορείτε να παραλάβετε τις πρώτες δύο προόδους εκείνες τις ώρες.

· Μπορείτε να δείτε τα αποτελέσματα του ηλεκτρονικού ερωτηματολογίου στο σύνδεσμο questionnaire.

· Η δεύτερη αξιολόγηση-ηλεκτρονικό ερωτηματολόγιο που αφορά τις ώρες των ασκήσεων είναι έτοιμη για συμπλήρωση. Καταληκτική ημερομηνία έχει οριστεί για τις 7 μ.μ. στις 21/01/2014.

· Η ύλη για τη τρίτη πρόοδο είναι ότι έχει καλυφθεί από τις 5/12/2013 και μετά όπως αναγράφεται στο ημερολόγιο του μαθήματος.

· Βαθμοί δεύτερης προόδου

· Οι ώρες ασκήσεων της Πέμπτης 19.12.2013 αναβάλλονται. Το σύνολο ασκήσεων 10 θα αναρτηθεί τη Πέμπτη.

· Η δεύτερη πρόοδος θα γίνει τη Δευτέρα 9.12.2013, στο κεντρικό αμφιθέατρο Εμπειρίκος, 1:15-2:00. Αντίγραφο της δεύτερης προόδου. Λύσεις της δεύτερης προόδου.

· Η αυριανή πρόοδος (6.12.2013) αναβάλλεται. Δεν έχω ακόμη μπορέσει να επιβεβαιώσω εναλλακτική ημερομηνία. Ευελπιστώ για Δευτέρα 9.12.2013 πριν από τις 2 μμ. Παρακαλώ να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του μαθήματος για ενημέρωση. Θα αναρτήσω την πληροφορία αύριο.

· Αξιολόγηση-ηλεκτρονικό ερωτηματολόγιο για τις ώρες των ασκήσεων. (καταληκτική ημερομηνία Κυριακή (μεσάνυχτα)

· Αντίγραφο της πρώτης προόδου. Οι λύσεις της πρώτης προόδου. Βαθμοί πρώτης προόδου

· Στην ιστοσελίδα των ασκήσεων έχουν προστεθεί λύσεις (στα αρχεία των ασκήσεων)

· Υπενθυμίζω ότι σύμφωνα με τη νομοθεσία, πρέπει να συμπληρωθούν 13 εβδομάδες διδασκαλίας για να θεωρείται ότι ένα μάθημα έχει διδαχθεί και για να μπορέσουν να διεξαχθούν οι εξετάσεις. Οι πρόοδοι είναι μέρος της μαθησιακής διδασκαλίας και συνμετρούνται όταν γίνονται εκτός των κανονικών ωρών διδασκαλίας.

· Η διδάσκουσα για τις διαλέξεις 10.10.2013-17.10.2013 θα αντικατασταθεί από τον κ. Ε. Ψωμόπουλο

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ημερολόγιο Μαθήματος

Διάλεξη	Ημερομηνία	Ύλη Εβδομάδας
1η	8/10/2013	Σύνολα, Συναρτήσεις (αμφιμονότιμη, επί, αντίστροφη εικόνα)
2η	10/10/2013	Καρτεσιανά γινόμενα, Συναρτήσεις
3η	15/10/2013	συναρτήσεις
4η	17/10/2013	Σχέσεις ισοδυναμίας
5η	22/10/2013	Κλάσεις ισοδυναμίας
	24/10/2013	Η διδάσκουσα παρεμποδίστηκε στην είσοδό της στη σχολή λόγω «κατάληψης». Το μάθημα δεν έγινε. Οι ώρες διδασκαλίας ΔΕΝ θα αναπληρωθούν.
6η	29/10/2013	Υπάρχουν ακριβώς n κλάσεις ισοδυναμίας του Z mod n (Ευκλείδιος αλγόριθμος). Kάθε διαμέριση ενός συνόλου αντιστοιχεί σε μία σχέση ισοδυναμίας έτσι ώστε οι κλάσεις ισοδυναμίας να ταυτίζονται με τα σύνολα της διαμέρισης.
7η	31/10/2013	Αριθμήσιμα σύνολα. Ένωση αριθμήσιμου και πεπερασμένου συνόλου=αριθμήσιμο. Χρήσιμη Πρόταση: για να δείξουμε ότι ένα άπειρο σύνολο είναι αριθμήσιμο, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μία συνάρτηση από τους φυσικούς αριθμούς στο σύνολό μας που να είναι επί.
8η	5/11/2013	Ένωση αριθμήσιμων είναι αριθμήσιμο, Ζ,Q είναι αριθμήσιμα, οι πραγματικοί στο (0,1) δεν είναι αριθμήσιμοι, το R δεν είναι αριθμήσιμο
9η	7/11/2013	Κάθε άπειρο υποσύνολο αριθμήσιμου είναι αριθμήσιμο, continuum hypothesis (ιστορικά στοιχεία), σχέσεις διάταξης
	8/11/2013	Πρώτη πρόοδος
11η	12/11/2013	Σχέσεις διάταξης, παραδείγματα, σχέση --διαρετότητα, σχέση—υποσύνολο, άνω-κάτω φράγματα
12η	14/11/2013	Άνω κάτω φράγματα ανοικτών/κλειστών διαστημάτων της πραγματικής ευθείας, υποσύνολα των ρητών χωρίς ελάχιστα άνω φράγματα, Ρίζες ρητών μπορεί να μην είναι ρητοί αριθμοί, σχόλια για δεκαδική απεικόνιση αριθμών, μαθηματική επαγωγή.
13η	19/11/2013	Παραδείγματα εφαρμογής μαθ. Επαγωγής: διαιρετότητα, άθροισμα, ανισότητα, πληθυκότητα δυναμοσυνόλου, δυωνυμικός συντελεστής: σημασία του όταν το k=2. Δεύτερη μορφή της μαθ. Επαγωγής.
14η	21/11/2013	Πρώτοι αριθμοί (2.7.1), Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής (εκφώνηση---2.7.12), απόδειξη ότι κάθε φυσικός μεγαλύτερος του 2 γράφεται ως γινόμενο πρώτων (χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μορφή της μαθ. Επαγωγής---δείτε και τις αποδείξεις 2.7.2+2.7.3)) Αρχή της καλής διάταξης για κάθε μη κενό υποσύνολο των ακεραίων με κάτω φράγμα, αλγόριθμος διαίρεσης του Ευκλείδη (θεώρημα 2.3.4)
15η	26/11/2013	Μέγιστος κοινός διαιρέτης (δηλ. ο μεγαλύτερος από όλους τους κοινούς διαιρέτες), αν b=aq+r τότε (a,b)=(a,r), Ευκλείδιος αλγόριθμος για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη, η ταυτότητα του Bezout: υπάρχουν ακέραιοι x,y τέτοιοι ώστε (a,b)=ax+by, εφαρμογή: αν p πρώτος και p διαιρεί το γινόμενο ab τότε p διαιρεί τον a ή τον b
16η	28/11/2013	Πρόταση: Οι κοινοί διαιρέτες διαιρούν τον μέγιστο κοινό διαιρέτη, Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής (μοναδικότητα), υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, αν ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος τότε έχει έναν πρώτο διαιρέτη μικρότερο ή ίσο με τη τετραγωνική του ρίζα, κόσκινο του Ερατοσθένη για την εύρεση πρώτων μικρότερων ή ίσων του m. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στο μκδ (α,(β, c)) και μκδ(α,β, c)?
17η	3/12/2013	Μέγιστος κοινός διαιρέτης α_1,...,α_n, ταυτότητα του Bezout όταν έχουμε n>2, μέγιστος κοινός διαιρέτης χρησιμοποιώντας το Θεμελιώδες Θεωρημα της Αριθμητικής, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, σχέση ανάμεσα στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και στον μέγιστο κοινό διαιρέτη, ένας αριθμός της μορφής 4n+3 έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη αυτής της μορφής
18η	5/12/2013	Αναπαράσταση φυσικών αριθμών σε βάση διαφορετική του 10, ερμηνεία του n!, δυωνυμικός συντελεστής, τρίγωνο του Pascal, δυώνυμο του Newton
	9/12/2013	Δεύτερη πρόοδος
19η	10/12/2013	με συνδυαστική, απόδειξη του τύπου του δυωνυμικού συντελεστή (αριθμός υποσυνόλων με k στοιχεία ενός συνόλου με n στοιχεία), απόδειξη του δυωνυμικού θεωρήματος (a+b)ⁿ (πρώτα ειδική περίπτωση (1+b)ⁿ ), γενικευμένο δυωνυμικό θεώρημο, αλγόριθμος διαίρεσης a=bq+r, για a οποιοδήποτε ακέραιο.
20η	12/12/2013	Αν a,b δίνονυν το ίδιο υπόλοιπο όταν εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο διάιρεσης τότε a≡b mod m και αντίστροφα. Αν a≡b mod m τότε f(a)≡f(b) mod m, όπου f(x) ϵ Z[x]. Τεστ διαιρετότητας με το 3, 9, 11. Τα τελευταία δύο ψηφία του 7²⁰⁰² Αν da≡db mod m τότε a≡b mod * ? (να βρείτε το * και αν αποδείξετε την ισοδυναμία)
21η	17/12/2013	da≡db mod m αν και μόνο αν a≡b mod m/(m,d). Παραδείγματα: υπόλοιπο διαίρεσης του 2¹⁰⁰ με το 7. Τελευταίο ψηφίο του 3¹⁰⁰¹ Ο ακέραιος 2²ⁿ⁺⁴ + 5²ⁿ⁺¹ διαιρείται με το 3, 7 και άρα με το 21. Εύρεση λύσης γραμμικών ισοδυναμιών (x+a≡b mod m, ax≡b mod m). Πόσες λύσεις έχει η ισοδυναμία 10x≡1 mod 21? Πόσες λύσεις έχει η ισοδυναμία 10x≡14 mod 18? Πίνακας πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για Z_{2 ,}για Z₃Να βρεθούν οι αντίστοιχοι πίνακες για Z₄ , Z₅, Z_6, Z₇και να συγκριθούν.
22η	19/12/2013	Πόρισμα του Ευκλειδίου αλγορίθμου: δεκαδική αναπαράσταση του m/n έχει περιοδικότητα από κάποιο ψηφίο και μετά. Πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για Z_mΟ πίνακας πολλαπλασιασμού του Z₅^μοιάζει με τον πίνακα πρόσθεσης του Z₄ Διαρέτες του μηδενός στο Z_m^Πότε υπάρχει 1 στη γραμμή πολλαπλασιασμού ενός στοιχείου του Z_m^Υπάρχουν 4 αντιστρέψιμα στοιχεία στο Z₁₂^Συνάρτηση του Euler. Oρισμός ομάδας, (πράξη, προσεταιριστικότητα, ουδέτερο στοιχείο, αντίστροφο στοιχείο).
23η	9/01/2014	Ομάδες: ορισμός+παραδείγματα. Μοναδικότητα μοναδιαίου, μοναδικότητα αντιστρόφου. Πόσες διαφορετικές δομές υπάρχουν για ομάδες με 3 και 4 στοιχεία?
24η	14/01/2014	Ένα στοιχείο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μία φορά σε κάθε γραμμή και στήλη ενός πίνακα πολλαπλασιασμού. Υπάρχει μία μόνο ομάδα με 3 στοιχεία (με προσέγγιση ισομορφίας). Ορισμός ομομορφισμού ομάδων, ορισμός ισομορφισμού ομάδων. Ουδέτερα στοιχεία απεικονίζονται σε ουδέτερα μέσω ομομορφισμών. Ορισμός τάξης στοιχείου. Παράδειγμα στο Z₄. Σε μία ομάδα με 5 στοιχεία, αν α δεν είναι το ουδέτερο στοιχείο, τότε η τάξη του α είναι 5. Ομάδες μεταθέσεων S_n. Η ομάδα S₃ έχει 6 στοιχεία και δεν είναι αντιμεταθετική.
25η	16/01/2014	Υπάρχουν δύο διαφορετικές δομές για μία ομάδα με 4 στοιχεία. Υπάρχει ακριβώς μία δομή για μία ομάδα με 5 στοιχεία. Ορισμός και παραδείγματα δακτυλίων. Ορισμός σώματος. Παραδείγματα
26η	21/01/2014	πρόοδος

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Τα βασικά εγχειρίδια του μαθήματος είναι:

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα της Κ. Κάλφα.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του Ε. Ψωμόπουλου.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του J. Fraleigh.

Θέματα προηγουμένων ετών

Ηλεκτρονικές σημειώσεις του Ε. Ψωμόπουλου

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Χρήσιμο Υλικό

Ασκήσεις