Hara Charalambous Χαρά Χαραλάμπους

Θεωρία Galois

Χειμερινό Εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2015-2016.

Πληροφορίες

Ώρες παραδόσεων: Τρίτη 6-7μμ (M1), Τετάρτη 5-7 M1

Ώρες συνεργασίας: Τρίτη 4-5, Τετάρτη 1-2, Παρασκευή 12-1

Ανακοινώσεις

· Πρώτη πρόοδος 20.11.15. Ύλη για την πρόοδο: ότι καλυφθεί έως και 11.11.15.

· Οι διαλέξεις στις 14.10.15 και 20.10.15 θα αναπληρωθούν την Δευτέρα 12.10.15 4-5 μμ (Μ1), την Παρασκευή 23.10.15 στις 10-11 (Μ1), Παρασκευή 30.10.15 10-11 (Μ1),

Αξιολόγηση μαθήματος: Δύο πρόοδοι, ή τελική εξέταση. Ο φοιτητής πρέπει να επιλέξει με ποιον τρόπο θέλει να εξεταστεί. Συμμετοχή στην πρώτη πρόοδο σημαίνει επιλογή προόδων.

Ύλη μαθήματος

Κατασκευή σωμάτων. Θεωρία πολυωνύμων με συντελεστές από σώμα. Αλγεβρικές

επεκτάσεις. Κλασσικά ελληνικά προβλήματα: κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.

Επιλυσιμότητα με ριζικά. Επιλυσιμότητα πολυωνυμικών εξισώσεων μικρού βαθμού.

Ομάδα και επέκταση του Galois. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois.

Εφαρμογές: επιλυσιμότητα πολυωνυμικών εξισώσεων, το θεμελιώδες θεώρημα της

Άλγεβρας, ρίζες της μονάδας, πεπερασμένα σώματα.

Ημερολόγιο Μαθήματος

Μάθημα	Ημερομηνία	Περιεχόμενο
	6-10-2015	Εισαγωγή: (Θ.Θ.Α., ανάγωγα πολυώνυμα, επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (ιστορική αναδρομή), τα κλασσικά προβλήματα της αρχαιότητας)
	7-10-2015	Ανάγωγα πολυώνυμα στον δακτύλιο F[x], κάθε πολυώνυμο βαθμού 1 έχει ρίζα, ορισμός ρίζας του f(x) σε μία εμφύτευση Ε του σώματος F, το σώμα F εμφυτεύεται στο E=F[y]/<p(y)> , το y+<p(y)> είναι ρίζα του p(x) στο Ε, ρίζες του f(x)=x^3-2 στο μιγαδικό επίπεδο.
	12-10-2015	Απόδειξη: aν p(x) ανάγωγο τότε E=F[x]/<p(x)> σώμα, εύρεση αντιστροφου του x^3+2 στο σώμα Ε=Q[x]/<x^2+x+1> (με ευκλείδειο αλγόριθμο, το σώμα Ε είναι Q-διανυσματικος χώρος διάστασης 2 με βάση {1+ <x^2+x+1>, x + <x^2+x+1>}.
	13-10-2015	To σώμα E^*=Z_2[x]/<x^3+x+1> έχει 8 στοιχεια και ως Ζ_2-διανυσματικος χώρος έχει βάση {1+ <x^3+x+1>, x+<x^3+x+1>, x^2+<x^3+x+1>}. To E^* είναι κυκλική ομάδα και E^*=< a> όπου a=x+<x^3+x+1>. Επίσης Ζ_2[a]=Ε. Κάθε πολυώνυμο βαθμού n εχει το πολύ n ρίζες σε ένα σώμα n. (κριτήρια διαιρετότητας αν προλάβουμε).
	Σημείωση (9.11.15)	Έχουμε καλύψει την ύλη του πρώτου και δεύτερου κεφαλαίου (έως το 2.3) από το σύγγραμμα Θεωρία Galois (Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους).

Προτεινόμενα Συγγράμματα:

- Θεωρία Galois του J. Rotman.

- Εισαγωγή στην Άλγεβρα του J. Fraleigh.

-Άλγεβρα, του Δ. Πουλάκη

- Θεωρία Galois του Σ. Ανδρεαδάκη

- Θεωρία Galois, των Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους (στα πλαίσια του έγου Kallipos)