Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ
Ακ. Έτος 2013-2014

Διδάσκουσα: Email – URL – Γραφείο – Τηλ.: Ώρες φοιτητών:	Καθηγήτρια Χαρά Χαραλάμπους hara@math.auth.gr -
	http://users.auth.gr/hara/ - ΣΘΕ 3ος όροφος, #7 2310997934
	Τρίτη 4-5, Τετάρτη 10:30-11:30, Πέμπτη 11-12
Ώρες Διαλέξεων:	Τρίτη 10-12 και Πέμπτη 9-11 Αίθουσα Δ31
Ώρες Ασκήσεων:	Πέμπτη 4-6, Αίθουσα Δ31, ~~Παρασκευή 3-4 Δ31,~~

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Περιγραφή

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει τα εξής θέματα: Δακτύλιοι, Σώματα, Ακέραιες περιοχές, Υποδακτύλιοι και ομομορφισμοί δακτυλίων, Ιδεώδη και πράξεις ιδεωδών, Διαιρετότητα, ΝΚΔ, ΕΚΠ, Ευθέα γινόμενα δακτυλίων, Θεώρημα υπολοίπων του κινέζου, Ευκλείδιοι δακτύλιοι, πρώτα και ανάγωγα στοιχεία, ΔΚΙ, ΔΜΑ, Δακτύλιοι πολυωνύμων, Ανάγωγα πολυώνυμα πάνω από το Q,R,C, αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία, Αλγεβρικές επεκτάσεις, ελάχιστο πολυώνυμο στοιχείου και κατασκευή σωμάτων.

Αξιολόγηση Μαθήματος

Θα έχουμε 3 προόδους (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής) διάρκειας 60 λεπτών.

Για τον τελικό βαθμό μετράνε

οι βαθμοί των των προόδων: 60%

ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 40% (αν > 3.5)

και μόνο αν ο παραπάνω συνδυασμός είναι μεγαλύτερος του βαθμού της τελικής εξέτασης.

Διαφορετικά μετρά μόνο ο βαθμός της τελικής εξέτασης: 100%

Για παράδειγμα:

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3.5 Άθροισμα: 5.6 Τελικός βαθμός: 6

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 3 Άθροισμα: 5.4 Τελικός βαθμός: 3

Μέσος όρος προόδων: 7 Βαθμός τελικής εξέτασης: 8 Άθροισμα: 7.4 Τελικός βαθμός: 8

Μέσος όρος προόδων: 1 Βαθμός τελικής εξέτασης: 5 Άθροισμα: 2.6 Τελικός βαθμός: 5

Ενδεικτικές Ημερομηνίες για τα διαγωνίσματα: 28.03.14, 9.05.14, 6.06.14. Οι φοιτητές θα πρέπει να ελέγχουν τακτικά την ιστοσελίδα του μαθήματος για τυχόν αλλαγές στις ημερομηνίες και άλλες πληροφορίες. Η αντιγραφή θα τιμωρείται αυστηρά.

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ασκήσεις

Οι ώρες ασκήσεων είναι προαιρετικές. Ο κύριος στόχος αυτών των ωρών είναι να σας βοηθήσει στη κατάκτηση ανεξάρτητης μαθηματικής σκέψης. Οι ασκήσεις δε θα σας δίνονται λυμένες. Οι λύσεις θα αναρτώνται εν ευθέτω χρόνο.

Γενικές οδηγίες: Χωριστείτε σε ομάδες. Η κάθε ομάδα εκλέγει προσωρινό εκπρόσωπο. Οι ομάδες δε χρειάζεται να είναι ίδιες κάθε φορά. Προσπαθήστε πρώτα να λύσετε μόνοι σας τις ασκήσεις. Συνάδελφοί σας από μεγαλύτερα έτη είναι παρόντες στην αίθουσα (με κονκάρδες) για να σας καθοδηγήσουν και να σας βοηθήσουν. Σηκώστε το χέρι!

Ανακοινώσεις

· Τελικοί βαθμοί Μπορείτε να υπολογίσετε το βαθμό που πήρατε στη τελική εξέταση από το παραπάνω αρχείο.

· Ξανακοιτάξτε τις απαντήσεις στη Τρίτη πρόοδο. Περίμενα παρατηρήσεις για την λύση στο ερώτημα 1. Μη διστάζετε να εκφράζετε την άποψή σας.

· Η τελική εξέταση θα έχει ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, και μία ερώτηση/ανάπτυξη.

· Ώρες φοιτητών για απορίες: Πέμπτη 11-12, Παρασκευή 11-12.

· Οι βαθμοί των τριών προόδων.

· Η τρίτη πρόοδος θα γίνει Παρασκευή 6.06.2014, 8:45-9:45 π.μ. στο κεντρικό αμφιθέατρο Εμπειρίκος. Η ύλη περιλαμβάνει ότι έχει καλυφθεί 06/06/2014 έως και 05/06/2014.

· Οι βαθμοί της πρώτης και δεύτερης προόδου

· Η δεύτερη πρόοδος θα γίνει Παρασκευή 9.05.2014, 8-9π.μ. στο κεντρικό αμφιθέατρο Εμπειρίκος. Η ύλη περιλαμβάνει ότι έχει καλυφθεί 27/03/2014 έως και 29/04/2014.

· Οι βαθμοί της πρώτης προόδου.

· Η πρώτη πρόοδος θα γίνει Παρασκευή 28.03.2014, 3-4μ.μ. στο κεντρικό αμφιθέατρο Εμπειρίκος. Η ύλη περιλαμβάνει ότι έχει καλυφθεί 25/02/2014 έως και 20/03/2014 (και τα τρία σύνολα ασκήσεων). Παράδειγμα ερωτηματολογίου πολλαπλής επιλογής

· Οι λύσεις του δεύτερου συνόλου ασκήσεων θα αναρτηθούν τη Δευτέρα 24 Μαρτίου. Οι λύσεις του τρίτου συνόλου ασκήσεων θα αναρτηθούν τη Πέμπτη 27 Μαρτίου.

· Οι ώρες ασκήσεων θα ξεκινήσουν Πέμπτη 13.03.14 (4-5), Παρασκευή 14.03.14 (3-4)

Γενικές Πληροφορίες Περιγραφή Ανακοινώσεις Ημερολόγιο

Ημερολόγιο Μαθήματος

Διάλεξη	Ημερομηνία	Ύλη Εβδομάδας
1η	25/02/2014	Επανάληψη για Αλγεβρικές Δομές Ι (βασικό πρόβλημα η κατάταξη των ομάδων), Δακτύλιοι, Σώματα, παραδείγματα ( άπειροι δακτύλιοι, πεπερασμένοι), βασικό ερώτημα κατάταξης δακτυλίων, ισομορφισμός δακτυλίων, Ζ δεν είναι ισόμορφο με το Q, R, αφού είναι σώματα, Q δεν είναι ισόμορφο με το R αφού το ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο ενώ το άλλο δεν είναι, R δεν είναι ισόμορφος με τον C (αφού το τελευταίο είναι αλγεβρικά κλειστό), πόσοι δακτύλιοι υπάρχουν με πληθυκότητα 2? (εκτός από τον Ζ₂ υπάρχει άλλος?) Πόσοι δακτύλιοι υπάρχουν με πληθυκότητα 3?
2η	6/03/2014	Ισχύει ότι x(-y)=-(yx), Δύο δομές για δακτυλίους με πληθυκότητα 2 και 3, υπάρχει σώμα με πληθυκότητα 4? Διαιρέτες του μηδενός δε μπορεί να έχουν αντίστροφο στοιχείο, Z₂ x Z₂ όπως και το Z₄ δεν είναι ακεραίες περιοχές, θεώρημα: κάθε πεπερασμένη ακεραία περιοχή είναι σώμα, σημασία του nx όπου n φυσικός και x στοιχείο του δακτυλίου R, αν n=pq τότε n1_R= (p1_R) (q1_R). Να δείξετε ότι σε ένα σώμα με 4 στοιχεία, η χαρακτηριστική του R (τάξη του 1_R στη προσθετική ομάδα του R) είναι 2. Να δώσετε τον πίνακα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ενός σώματος R με 4 στοιχεία.
		Ασκήσεις 1, Λύσεις του πρώτου συνόλου ασκήσεων
3η	11/03/2014	Η χαρακτηριστική ενός σώματος είναι πρώτος αριθμός. Υπάρχει σώμα Κ με 4 στοιχεία. Η προσθετική ομάδα του σώματος είναι ισόμορφη με την Z₂ x Z₂ ενώ η πολλαπλασιαστική ομάδα Κ* είναι ισόμορφη με την Z₃. Η τάξη κάθε στοιχείου στη προσθετική ομάδα διαιρεί τη χαρακτηριστική. Υπάρχει ακριβώς ένα σώμα με 5 στοιχεία, και είναι ισόμορφο με το Z_5.Η πολλαπλασιαστική ομάδα του σώματος αυτού προσδιορίζετει πλήρως από την επιμεριστική ιδιότητα, αφού όλα τα στοιχεία του σώματος είναι πολλαπλάσια του 1. Πόσοι δακτύλιοι υπάρχουν με 5 στοιχεία? Αν φ: RàS είναι ισομορφισμός δακτυλίων τότε R είναι ακεραία περιοχή αν και μόνο αν S είναι ακεραία περιοχή. Ορισμός υποδακτυλίου. Ορισμός ιδεωδών. Καθορισμός όλων των ιδεωδών στο Ζ. Στο k[x] το σύνολο όλων των πολυωνύμων με ρίζα το 0 είναι ιδεώδες, και μάλιστα κύριο και ίσο με το σύνολο xk[x]={x f(x): f(x) ανήκει στο k[x]}.
4η	13/03/2014	Παράδειγμα συνόλου που δεν είναι ιδεώδες. Το {0} και ο δακτύλιος R είναι το τετριμμένο και το μη γνήσιο ιδεώδες του R αντίστοιχα. Τα μόνα ιδεώδη ενός σώματος είναι το τετριμμένο και το μη γνήσιο. Το ίδιο και για έναν δακτύλιο με διαίρεση. Κάθε φορά που το 1 ανήκει στο ιδεώδες, το ιδεώδες είναι ολόκληρος ο δακτύλιος. Ο δακτύλιος των 2x2 πινάκων με τιμές από ένα σώμα έχει ως ιδεώδη μόνο το τετριμμένο και το μη γνήσιο. Συνθήκες για να είναι υποσύνολο δακτυλίου δακτύλιος, (με τις ίδιες πράξεις του δακτυλίου). Ο δακτύλιος των τετράδων είναι δακτύλιος με διαίρεση.
		Ασκήσεις 2 Λύσεις του δευτέρου συνόλου ασκήσεων
5η	18/03/14	Οι ακεραίες περιοχές Z[, το 2 δεν είναι αντιστρέψιμο στον Z[, Z[, Z[i], (1+i)(1-i)=2, Z[, ( (1+)=6=2 3, Z], R[a], γεννήτορες ιδεώδους, το ιδεώδες (+ 2+2, ) είναι μη γνήσιο στο k[x] όπου k σώμα.
6η	20/03/14	Το σύνολο (r₁ , …, r _s) είναι ιδεώδες. Το ιδεώδες (2,x) δεν είναι κύριο στο Z[x], είναι όμως κύριο στο Q[x]. Όταν I ιδεώδες του R τότε R/I είναι δακτύλιος με πράξεις (r+I)+(s+I)= )= r+s+I, (r +I) (s+I)= rs+I όπου a+I={a+i: i ανήκει στο Ι}. Τα στοιχεία του Ζ[x]/ (x² +1) είναι: 0+ Ι, 1+Ι, x+I, x+1+I όπου Ι=(x² +1). Στη τάξη δείξαμε ότι αν f(x) είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού τότε f(x)+I είναι ένα από τα παραπάνω 4 στοιχεία. Να δείξετε ότι αν f(x) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού τότε f(x)+I είναι ένα από τα παραπάνω 4 στοιχεία. Να δείξετε ότι xⁿ +I= 1+I αν n=2k ενώ xⁿ +I= x+I αν n=2k+1. δείξετε ότι αν f(x) είναι πολυώνυμο οποιουδήποτε βαθμού τότε f(x)+I είναι ένα από τα παραπάνω 4 στοιχεία. Να γράψετε τους πίνακες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
		Ασκήσεις 3 Λύσεις του τρίτου συνόλου ασκήσεων
7η	27/03/14	Συζήτηση για θέματα από τα σύνολα των ασκήσεων: ομομορφισμοί από το Ζ στο Z και από το Z x Z στο Ζ, από το Q σε κάποιο σώμα K, εναλλακτικός τρόπος για να δείξει κανείς ότι Q[ και Q[ δεν είναι ισόμορφα, ( 2 έχει εικόνα το 2, άρα (² έχει εικόνα το 2, άρα στο Q[ πρέπει να υπάρχει στοιχείο που το τετράγωνό του να είναι το 2, άτοπο) Επίσης Q[ είναι υπόσωμα του R όχι όμως ιδεώδες του R. Τα στοιχεία του δακτύλιου Z[x]/(x) είναι της μορφής m+(x), όπου m ακέραιος. Ο δακτύλιος Z[x]/( x⁵) δεν είναι ακεραία περιοχή αφού (x²+ (x⁵) ) (x³+ (x⁵))= 0+ (x⁵). Ο Ευκλείδιος αλγόριθμος διαίρεσης στον R[x] όταν το R είναι ακεραία περιοχή, f(x) είναι πολυώνυμο με αρχικό συντελεστή αντιστρέψιμο στοιχείο.
	28/03/14	Πρόοδος 1, Βαθμοί πρώτης προόδου Απαντήσεις πρώτης προόδου
		Ασκήσεις 4 Στις ώρες των ασκήσεων θα συζητηθούν τα θέματα της πρώτης προόδου.
8η	1/04/14	Θεώρημα Διαίρεσης (Ευκλείδιος αλγόριθμος): g(x)= f(x) p(x)+r(x) με μοναδικά p(x), r(x) έτσι ώστε deg r(x) < deg f(x) ή r(x)=0, αρκεί ο αρχικός όρος του f(x) να είναι αντιστρέψιμος. Παραδείγματα διαίρεσης πολυωνύμων στο Z[x] και στο Z₅[x]. Πορίσματα: f(a)=0 αν και μόνο αν f(x)=(x-a) p(x). Αν οι συντελεστές του f(x) ανήκουν σε σώμα, τότε f(x) έχει το πολύ deg f(x) ρίζες στο σώμα. Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Παραδείγματα: ρίζες του x²+1 στο σώμα των πραγματικών και στο σώμα των μιγαδικών. Ρίζες του x²-5x +6 στο Z[x] και στο Z₁₂[x].
9η	3/04/14	Αν a είναι ρίζα του x^m- 1 τότε a είναι αντιστρέψιμο. Οι ρίζες του πολυωνύμου x⁷- 1 σε σώμα με 8 στοιχεία και σε σώμα με 5 στοιχεία. Οι ρίζες του πολυωνύμου x⁴- 1 στο Z₁₂ Το (μικρό) Θεώρημα του Fermat και το Θεώρημα του Euler. Πράξεις ιδεωδών: I+J, IJ, . Παραδείγματα για τα ιδεώδη I=(2), J=(3) στο Z, για τα ιδεώδη I=(2), J=(2), και I=( 2, x²), J=(3x) στο Z[x].
		Ασκήσεις 5 Λύσεις συνόλου ασκήσεων 5
11η	8/04/14	Πρώτο θεώρημα ισομορφίας: όταν φ: R à S ομομορφισμός, τότε ψ: R/ker φ à Im φ , φ(r+ker φ)=φ(r ) είναι ισομορφισμός. Παραδείγματα με ομομορφισμούς εκτίμησης. α) Z[x]àZ, f(x) àf(0). Απόδειξη ότι Z[x]/(x) είναι ισόμορφο με Z, b) Z[x]àZ, f(x) àf(1). Απόδειξη ότι Z[x]/(x-1) είναι ισόμορφο με Z, γ) Z[x]àZ[i], f(x) àf(i). Απόδειξη ότι Z[x]/( x²+1) είναι ισόμορφο με Z[i], δ) Z[x]àZ[(], f(x) àf((). Απόδειξη ότι Z[x]/( x²-2) είναι ισόμορφο με Z[(], ε) Z[x]à Z₄ [x], Απόδειξη ότι Z[x]/( 4) είναι ισόμορφο με Z₄ [x]. Αναφορά στα άλλα δύο θεωρήματα ισομορφίας.
12η	10/04/14	Υπενθύμιση του μιγαδικού επιπέδου και της πρωταρχικής ρίζας της μονάδας για τις ριζες της εξίσωσης x³-2. Αν Z[x]à, f(x) àf(), απόδειξη ότι ο πυρήνας ισούται με το (x³-2). Χρησιμότητα κριτηρίων που θα μας επιτρέπουν να αποφασίζουμε αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα. Τα ιδεώδη του R/I είναι σε μία προς μία αντιστοιχία με τα ιδεώδη του R που περιέχουν το I. Παραδείγματα: Ιδεώδη του Z[x]/( x³). Αναλυτικα, το ιδεώδες (x³, 1+x)=(1)=Z[x]. Το μόνα ιδεώδη του R=Z[x]/(2,x) είναι το μηδενικό ιδεώδες, και ολόκληρος ο δακτύλιος: δεν υπάρχει γνήσιο ιδεώδες του Z[x] που να περιέχει το (2,x).
		Ασκήσεις 6
13η	29/04/14	Ύλη 29.04.14
		Ασκήσεις 7
14η	6/05/14	Ύλη 6.05.14
15η	8/05/14	Ύλη 8.05.14 Λύσεις έκτου και εβδόμου συνόλου ασκήσεων
	9/05/14	Πρόοδος 2
16η	13/05/14	Ύλη 13.05.14
17η	15/05/14	Ύλη 15.05.14
		Στις ώρες των ασκήσεων (15/05/14) θα συζητηθούν οι λύσεις της δευτερης προόδου. Λύσεις δεύτερης προόδου
18η	20/05/14	Ύλη 20.05.14
19η	22/05/14	Ύλη 22.05.14
		Ασκήσεις 9 Λύσεις 9^ου συνόλου ασκήσεων
20η	27/05/14	Ύλη 27.05.14
21η	29/05/14	Ύλη 29.05.14
		Ασκήσεις 10 Λύσεις 10^ου συνόλου ασκήσεων
22η	3/06/14	Ύλη 3.06.14
23η	5/06/14	Απόδειξη ότι Z[x] είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης. Γενίκευση: αν R είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης τότε R[x] είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης. Παραδείγματα ανάλυσης σε γινόμενα αναγώγων. Παρατήρηση: Ο δακτύλιος Z και ο δακτύλιος k[x] όταν k είναι σώμα είναι Ευκλείδειες περιοχές, (Ευκλείδιος αλγόριθμος). Χωρίς απόδειξη: Ο δακτύλιος Z[i] είναι Ευκλείδεια περιοχή μέσω της νόρμας.

	6 /06/14	Πρόοδος 3 Λύσεις της τελευταίας προόδου