ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ, ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Ακαδημαϊκά Έτη 2016-2017 & 2017-2018

Σεμινάριο εργασίας στις Βαθμωτές Συζυγίες

Το σεμινάριο διοργανώνεται από την καθηγήτρια κ. Χαρά Χαραλάμπους και απευθύνεται σε μεταπτυχιακούς φοιτητές και υποψήφιους διδάκτορες με βασικές γνώσεις Αντιμεταθετικής Αλγεβρας. Στο σεμινάριο συμμετέχουν οι μεταπτυχιακοί φοιτητές Κωνστάντια Μανούσου-Σωτηροπούλου, Σπύρος Μυλωνάς, Βασίλης Χαραλαμπίδης και ο υποψήφιος διδάκτορας Κώστας Καραγιάννης. Το γενικό θέμα του σεμιναρίου είναι οι βαθμωτές συζυγίες (Graded Syzygies) όπου μελετώνται μεταξύ άλλων βαθμωτές ελεύθερες επιλύσεις (graded free resolutions), συναρτήσεις του Hilbert και αριθμοί Betti. Βασική βιβλιογραφική πηγή είναι το ομώνυμο βιβλίο της Irena Peeva. Οι συναντήσεις κατά τη διάρκεια του Εαρινού εξαμήνου 2017 έλαβαν χώρα κάθε Τρίτη ή/και Παρασκευή στις 17:30, ενώ στο Χειμερινό εξάμηνο του 2017 λαμβάνουν χώρα κάθε Τρίτη ή Τετάρτη στις 11:30, στην Αίθουσα συνεδριάσεων του Τμήματος Μαθηματικών (Μ3), στις οποίες οι συμμετέχοντες εναλλάσονται στην παρουσίαση ενός ή περισσότερων κεφαλαίων του βιβλίου.



Ημερομηνία Ομιλητής/τρια Θέμα Διάλεξης Πηγές

Τετάρτη 19 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Η επίλυση των Eliahou-Kervaire Κεφάλαιο I.28, σελ. 109-118

Τετάρτη 13 Σεπτεμβρίου

Rashid Zaare-Nahandi Linearity of Resolution of Monomial Ideals
and its Combinatorial Interpretations.
-

Τρίτη 12 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Mapping Cones Κεφάλαιο I.27, σελ. 106-109

Τρίτη 12 Σεπτεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Συστήματα Γεννητόρων Τορικών Ιδεωδών Περίληψη

Τρίτη 5 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου The Scarf Complex Κεφάλαιο ΙΙΙ.59, σελ. 230-235

Τρίτη 5 Σεπτεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Toric Ideals Περίληψη

Πέμπτη 31 Αυγούστου

Κωνστάντια Μανούσου Simplicial Free Resolutions Κεφάλαιο ΙΙΙ.57, σελ. 218-225

Ιούλιος-Αύγουστος

Διακοπή για Καλοκαίρι
Τρίτη 6 Ιουνίου Κώστας Καραγιάννης Monomial Orderings and Gröbner Bases   CLO, Ideals, Varieties and Algorithms  

Eisenbud, Commutative Algebra

Τρίτη 30 Μαΐου

Κωνστάντια Μανούσου Polarization Κεφάλαιο Ι.21, σελ. 85-90

Τρίτη 23 Μαΐου

Βασίλης Χαραλαμπίδης Regularity Κεφάλαιο Ι.18, σελ. 73-80

  Παρασκευή 19 Μαΐου  

Σπύρος Μυλωνάς Hilbert Functions Κεφάλαιο I.16, σελ. 59-67

Τρίτη 16 Μαΐου

  Βασίλης Χαραλαμπίδης   Finite Projective Dimension Κεφάλαιο Ι.15, σελ. 55-59

Τρίτη 9 Μαΐου

Κωνστάντια Μανούσου The Koszul Complex Κεφάλαιο Ι.14, σελ. 48-55

Τρίτη 2 Μαΐου

Σπύρος Μυλωνάς Syzygies, Betty Numbers, Graded Betti Numbers Κεφάλαια I.10, I.11, I.12, σελ. 38-44

11-25 Απριλίου

Διακοπή για Πάσχα

  Παρασκευή 7 Απριλίου  

Βασίλης Χαραλαμπίδης Homological Algebra: Tor and Ext Functors Rotman, Homological Algebra

Τρίτη 4 Απριλίου

Κωνστάντια Μανούσου Minimal Free Resolutions Κεφάλαιο I.7, σελ. 28-32

  Παρασκευή 31 Μαρτίου  

Βασίλης Χαραλαμπίδης Homotopy Κεφάλαιο I.6, σελ. 23-28

Τρίτη 28 Μαρτίου

Σπύρος Μυλωνάς Free Resolutions Κεφάλαιο I.4, σελ. 16-21

  Παρασκευή 24 Μαρτίου  

Κωνστάντια Μανούσου Graded Complexes Κεφάλαιο I.3, σελ.12-16

Τρίτη 21 Μαρτίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης Graded Modules and Homomorphisms Κεφάλαιο I.2, σελ. 5-12

  Πέμπτη 16 Μαρτίου  

Κωνστάντια Μανούσου Graded Polynomial Rings Κεφάλαιο Ι.1, σελ. 1-5

ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ

Εισαγωγή στις πλεγματικές (simplicial) ελεύθερες επιλύσεις: Από μια ομάδα συμπλόκων διανυσματικών χώρων που ονομάζουμε πλαίσια, κατασκευάζουμε μέσω της τεχνικής της ομογενοποίησης σύμπλοκα ελεύθερων modules και εξετάζουμε πότε αποτελούν επίλυση ενός module. Στη συνέχεια, για ένα πλεγματικόβσύμπλοκο(simplicial complex), κατασκευάζουμε ένα πλαίσιο και ορίζουμε τις πλεγματικές ελεύθερες επιλύσεις. Τέλος θα δούμε ότι η ελεύθερη επίλυση της Taylor ενός μονωνυμικού ιδεώδους είναι πλεγματική.

Μια εισαγωγή στα τορικά ιδεώδη: Θα δώσουμε τον ορισμό των τορικών ιδεωδών (toric ideals) με την βοήθεια της πολυδιαβάθμισης (multigrading) πολυωνυμικών δακτυλίων. Θα παρουσιάσουμε μία κατασκευή, που μας δίνει μία μέθοδο υπολογισμού του τορικού ιδεώδους, που αντιστοιχεί σε δοθέν πίνακα Α. Ο υπολογισμός απαιτεί την χρήση κάποιου υπολογιστικού προγράμματος (πχ Macaulay 2) και η μέθοδος βασίζεται στην θεωρία απαλοιφής (elimination theory). Θα αναφέρουμε επίσης και κάποια παραδείγματα.

Συστήματα Γεννητόρων Τορικών Ιδεωδών: Θα δούμε ότι κάθε Τορικό Ιδεώδες έχει ένα σύστημα γεννητόρων που αποτελείται απο "καθαρά" διώνυμα (pure binomials). Επίσης, θα δούμε κάποιες συνέπειες του παραπάνω Θεωρήματος όπως για παράδειγμα ότι κάθε Τορικό Ιδεώδες έχει βάση Grobner, ως προς κάποια μονωνυμική διάταξη, που αποτελείται απο καθαρά διώνυμα, και μάλιστα δεν εξαρτάται απο το σώμα πάνω απο το οποίο δουλέυουμε.