ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ, ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Ακαδημαϊκά Έτη 2016-2017 & 2017-2018

Σεμινάριο εργασίας στις Βαθμωτές Συζυγίες

Το σεμινάριο διοργανώνεται από την καθηγήτρια κ. Χαρά Χαραλάμπους και απευθύνεται σε μεταπτυχιακούς φοιτητές και υποψήφιους διδάκτορες με βασικές γνώσεις Αντιμεταθετικής Αλγεβρας. Στο σεμινάριο συμμετέχουν οι μεταπτυχιακοί φοιτητές Κωνστάντια Μανούσου-Σωτηροπούλου, Σπύρος Μυλωνάς, Βασίλης Χαραλαμπίδης και ο υποψήφιος διδάκτορας Κώστας Καραγιάννης. Το γενικό θέμα του σεμιναρίου είναι οι βαθμωτές συζυγίες (Graded Syzygies) όπου μελετώνται μεταξύ άλλων βαθμωτές ελεύθερες επιλύσεις (graded free resolutions), συναρτήσεις του Hilbert και αριθμοί Betti. Βασική βιβλιογραφική πηγή είναι το ομώνυμο βιβλίο της Irena Peeva. Οι συναντήσεις κατά τη διάρκεια του Εαρινού εξαμήνου 2017 έλαβαν χώρα κάθε Τρίτη ή/και Παρασκευή στις 17:30, ενώ στο Χειμερινό εξάμηνο του 2017 λαμβάνουν χώρα κάθε Τρίτη ή Τετάρτη στις 11:30, στην Αίθουσα συνεδριάσεων του Τμήματος Μαθηματικών (Μ3), στις οποίες οι συμμετέχοντες εναλλάσονται στην παρουσίαση ενός ή περισσότερων κεφαλαίων του βιβλίου.



Ημερομηνία Ομιλητής/τρια Θέμα Διάλεξης Πηγές

Πέμπτη 23 Νοεμβρίου

Κώστας Καραγιάννης Eternity II Puzzle and Gröbner Bases
Περίληψη

Πέμπτη 23 Νοεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου H αντιστοιχία των Stanley-Reisner
Μέρος Δεύτερο  
Κεφάλαιo ΙΙΙ.62, σελ. 239-249

Πέμπτη 16 Νοεμβρίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης   Αντιπαραδείγματα στην Εικασία της Κανονικότητας
Μέρος Τέταρτο  
Κεφάλαιο 2 της Ομώνυμης Εργασίας
των McCullough και Peeva

Πέμπτη 9 Νοεμβρίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης   Αντιπαραδείγματα στην Εικασία της Κανονικότητας
Μέρος Τρίτο  
Κεφάλαιο 2 της Ομώνυμης Εργασίας
των McCullough και Peeva

Πέμπτη 2 Νοεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Τορικά Ιδεώδη Γενικού Τύπου (Generic Toric Ideals)
Κεφάλαιο IV.70, σελ. 275-278

Πέμπτη 2 Νοεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου H αντιστοιχία των Stanley-Reisner
Μέρος Πρώτο  
Κεφάλαιo ΙΙΙ.62, σελ. 239-249

Πέμπτη 19 Οκτωβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Betti αριθμοί μέσω πλεγματικών συμπλόκων
και η επίλυση του Lyubeznik
Κεφάλαια ΙΙΙ.60, ΙΙΙ.61, σελ. 235-239

Πέμπτη 19 Οκτωβρίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης   Αντιπαραδείγματα στην Εικασία της Κανονικότητας
Μέρος Δεύτερο  
Κεφάλαιο 2 της Ομώνυμης Εργασίας
των McCullough και Peeva

Πέμπτη 12 Οκτωβρίου

Κωνστάντια Μανούσου The lcm-lattice Κεφάλαιο ΙΙΙ.58, σελ. 225-230

Πέμπτη 12 Οκτωβρίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης   Αντιπαραδείγματα στην Εικασία της Κανονικότητας
Μέρος Πρώτο  
Κεφάλαιο 2 της Ομώνυμης Εργασίας
των McCullough και Peeva

Πέμπτη 12 Οκτωβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Ομοτοπικά Πλεγματικά Σύμπλοκα Κεφάλαιο ΙV.67, σελ. 265-270

Τρίτη 3 Οκτωβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Το Θεώρημα των Bayer-Sturmfels Κεφάλαιο ΙΙΙ.57, σελ. 218-225

Τετάρτη 27 Σεπτεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Αριθμοί Betti και Πλεγματικά Σύμπλοκα Περίληψη

Τετάρτη 27 Σεπτεμβρίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης Regular Elements Κεφάλαιο I.20, σελ. 82-85

Τετάρτη 20 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Η επίλυση των Eliahou-Kervaire Κεφάλαιο I.28, σελ. 109-118

Τετάρτη 13 Σεπτεμβρίου

Rashid Zaare-Nahandi Linearity of Resolution of Monomial Ideals
and its Combinatorial Interpretations.
-

Τρίτη 12 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου Mapping Cones Κεφάλαιο I.27, σελ. 106-109

Τρίτη 12 Σεπτεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Συστήματα Γεννητόρων Τορικών Ιδεωδών Περίληψη

Τρίτη 5 Σεπτεμβρίου

Κωνστάντια Μανούσου The Scarf Complex Κεφάλαιο ΙΙΙ.59, σελ. 230-235

Τρίτη 5 Σεπτεμβρίου

Σπύρος Μυλωνάς Toric Ideals Περίληψη

Πέμπτη 31 Αυγούστου

Κωνστάντια Μανούσου Simplicial Free Resolutions Κεφάλαιο ΙΙΙ.57, σελ. 218-225

Ιούλιος-Αύγουστος

Διακοπή για Καλοκαίρι
Τρίτη 6 Ιουνίου Κώστας Καραγιάννης Monomial Orderings and Gröbner Bases   CLO, Ideals, Varieties and Algorithms  

Eisenbud, Commutative Algebra

Τρίτη 30 Μαΐου

Κωνστάντια Μανούσου Polarization Κεφάλαιο Ι.21, σελ. 85-90

Τρίτη 23 Μαΐου

Βασίλης Χαραλαμπίδης Regularity Κεφάλαιο Ι.18, σελ. 73-80

  Παρασκευή 19 Μαΐου  

Σπύρος Μυλωνάς Hilbert Functions Κεφάλαιο I.16, σελ. 59-67

Τρίτη 16 Μαΐου

  Βασίλης Χαραλαμπίδης   Finite Projective Dimension Κεφάλαιο Ι.15, σελ. 55-59

Τρίτη 9 Μαΐου

Κωνστάντια Μανούσου The Koszul Complex Κεφάλαιο Ι.14, σελ. 48-55

Τρίτη 2 Μαΐου

Σπύρος Μυλωνάς Syzygies, Betty Numbers, Graded Betti Numbers Κεφάλαια I.10, I.11, I.12, σελ. 38-44

11-25 Απριλίου

Διακοπή για Πάσχα

  Παρασκευή 7 Απριλίου  

Βασίλης Χαραλαμπίδης Homological Algebra: Tor and Ext Functors Rotman, Homological Algebra

Τρίτη 4 Απριλίου

Κωνστάντια Μανούσου Minimal Free Resolutions Κεφάλαιο I.7, σελ. 28-32

  Παρασκευή 31 Μαρτίου  

Βασίλης Χαραλαμπίδης Homotopy Κεφάλαιο I.6, σελ. 23-28

Τρίτη 28 Μαρτίου

Σπύρος Μυλωνάς Free Resolutions Κεφάλαιο I.4, σελ. 16-21

  Παρασκευή 24 Μαρτίου  

Κωνστάντια Μανούσου Graded Complexes Κεφάλαιο I.3, σελ.12-16

Τρίτη 21 Μαρτίου

Βασίλης Χαραλαμπίδης Graded Modules and Homomorphisms Κεφάλαιο I.2, σελ. 5-12

  Πέμπτη 16 Μαρτίου  

Κωνστάντια Μανούσου Graded Polynomial Rings Κεφάλαιο Ι.1, σελ. 1-5

ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ

Eternity II Puzzle and Gröbner Bases To Eternity II είναι ένα "edge-matching puzzle" που σχεδιάστηκε το 2007. Οι δημιουργοί του προσέφεραν αρχικά 2 εκατομμύρια δολλάρια σε όποιον κατάφερνε να το λύσει. Το βραβείο αποσύρθηκε το 2010 και ως σήμερα, κανείς δεν έχει καταφέρει να παρουσιάσει μία πλήρη λύση του puzzle. Βασιζόμενοι στο paper A Global Approach for Solving Edge-Matching Puzzles, θα αποδείξουμε ότι κάθε λύση του puzzle αντιστοιχεί σε μονοσήμαντα σε μία λύση ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων. Σκοπός της ομιλίας είναι να μελετηθεί εάν μπορούν να εφαρμοστούν εργαλεία της θεωρίας των βάσεων Gröbner ώστε να βρεθεί η λύση του εν λόγω συστήματος (και άρα του puzzle).

Αριθμοί Betti και Πλεγματικά Σύμπλοκα: Θα αντιστοιχίσουμε σε κάθε πολυβαθμό α ένα πλεγματικό σύμπλοκο Γ(α). Με αυτήν την κατασκευή θα αποδείξουμε ότι με την βοήθεια της ελαττωμένης ομολογίας (reduced homology) του Γ(α) μπορούμε να υπολογίσουμε τους πολυβαθμωτούς αριθμούς Βetti ενός τορικού ιδεώδους .

Συστήματα Γεννητόρων Τορικών Ιδεωδών: Θα δούμε ότι κάθε Τορικό Ιδεώδες έχει ένα σύστημα γεννητόρων που αποτελείται απο "καθαρά" διώνυμα (pure binomials). Επίσης, θα δούμε κάποιες συνέπειες του παραπάνω Θεωρήματος όπως για παράδειγμα ότι κάθε Τορικό Ιδεώδες έχει βάση Grobner, ως προς κάποια μονωνυμική διάταξη, που αποτελείται απο καθαρά διώνυμα, και μάλιστα δεν εξαρτάται απο το σώμα πάνω απο το οποίο δουλέυουμε.

Μια εισαγωγή στα τορικά ιδεώδη: Θα δώσουμε τον ορισμό των τορικών ιδεωδών (toric ideals) με την βοήθεια της πολυδιαβάθμισης (multigrading) πολυωνυμικών δακτυλίων. Θα παρουσιάσουμε μία κατασκευή, που μας δίνει μία μέθοδο υπολογισμού του τορικού ιδεώδους, που αντιστοιχεί σε δοθέν πίνακα Α. Ο υπολογισμός απαιτεί την χρήση κάποιου υπολογιστικού προγράμματος (πχ Macaulay 2) και η μέθοδος βασίζεται στην θεωρία απαλοιφής (elimination theory). Θα αναφέρουμε επίσης και κάποια παραδείγματα.

Εισαγωγή στις πλεγματικές (simplicial) ελεύθερες επιλύσεις: Από μια ομάδα συμπλόκων διανυσματικών χώρων που ονομάζουμε πλαίσια, κατασκευάζουμε μέσω της τεχνικής της ομογενοποίησης σύμπλοκα ελεύθερων modules και εξετάζουμε πότε αποτελούν επίλυση ενός module. Στη συνέχεια, για ένα πλεγματικόβσύμπλοκο(simplicial complex), κατασκευάζουμε ένα πλαίσιο και ορίζουμε τις πλεγματικές ελεύθερες επιλύσεις. Τέλος θα δούμε ότι η ελεύθερη επίλυση της Taylor ενός μονωνυμικού ιδεώδους είναι πλεγματική.