Χαρά Χαραλάμπους                        Hara Charalambous

 

 

 

 

Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β
Ακ. Έτος 2019-2020

 

Γενικές Πληροφορίες

 

Διδάσκουσα:               Καθ. Χαρά Χαραλάμπους 

Email:                        hara@math.auth.gr, http://users.auth.gr/hara/ 

 

Γραφείο:                    ΣΘΕ, 3ος όροφος, #7 

Τηλ.:                          2310-997934

 

Ώρες Διαλέξεων:       Δευτέρα 10-11 Δ21, Τρίτη 12-14, (Δ11),   Παρασκευή 12-14 (Δ11)

 

 

 

 Η σελίδα του μαθήματος είναι προσωρινή και θα μεταφερθεί στο  elearning.auth.gr

 

 

 

 

 

 

Ημερολόγιο Μαθήματος

 

Εβδομάδα

Ύλη Εβδομάδας

1

30.9.19-3.10.19

Πίνακες, Πράξεις Πινάκων, Αντιστρέψιμοι Πίνακες (Θα βρείτε όσα καλύψαμε στις ενότητες 2.1 και 2.2 του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

Ασκήσεις πρώτης εβδομάδας

2

7.10.19-11.10.19

  Ανάστροφος Πίνακα, Στοιχειώδεις Πράξεις Γραμμών, Αλγόριθμος του Gauss για κλιμακωτή και ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών, Βαθμίδα Πίνακα. (Θα βρείτε όσα καλύψαμε στις ενότητες 2.1 και 1.2 του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις δεύτερης εβδομάδας

3

14.10.19-18.10.19

Γραμμοπράξεις και Στοιχειώδεις πίνακες, Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα, Ιδιότητες οριζουσών, Ορίζουσα και Βαθμίδα, Προσαρτημένος πίνακα, Εύρεση αντίστροφου πίνακα με τον  Αλγόριθμο του Gauss και με χρήση του Προσαρτημένου πίνακα. (Θα βρείτε όσα καλύψαμε στις ενότητες 2.2 και 2.3 του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις τρίτης εβδομάδας

4

21.10.19-25.10.19

Θεώρημα: ο n x n πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν-ν rank A=n αν-ν η ορίζουσα του Α δεν είναι 0.  Αν για τον n x n πίνακα Α υπάρχει n x n πίνακας Β τέτοιος ώστε ΑΒ= Ι_n τότε ΒΑ=I_n και ο A είναι ο αντίστροφος του B είναι αντίστροφοι. Γραμμικά Συστήματα, Επίλυση με τη μέθοδο του Gauss, με τη χρήση του αντιστρόφου του πίνακα των συντελεστών (όταν αυτός υπάρχει) και με τη μέθοδο του cramer. Ομογενή συστήματα. Null (A), αριθμός παραμέτρων, ιδιότητες. Γεωμετρική ερμηνεία των λύσεων με μία και δύο παραμέτρους στο επίπεδο και στον τριδιάστατο χώρο. (Θα βρείτε όσα καλύψαμε στο Κεφάλαιο 1 και στο τέλος της ενότητας 2.3 του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις τέταρτης εβδομάδας

5

29.10.19-1.11.19

Διανυσματικοί χώροι, παραδείγματα. Διανυσματικοί υποχώροι. Κριτήριο υποχώρων. Παραδείγματα (Κ^n σύνολο m xn πινάκων, πολυώνυμα, συναρτήσεις). Ο χώρος S(X) και το παράγον σύνολο X (Θα βρείτε το κύριο μέρος όσων καλύψαμε στις Ενότητες 3.1, 3.2  του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

 Ασκήσεις πέμπτης εβδομάδας

6

4.11.19-8.11.19

Ασκήσεις εύρεσης παραγόντων συνόλων υποχώρων.  Εύρεση διανυσμάτων στον S(X). Άθροισμα υποχώρων. Χώρος γραμμών, χώρος στηλών. Γραμμική ανεξαρτησία. Βάση ενός διανυσματικού χώρου. Συντεταγμένες. Σχέσεις γραμμική εξάρτησης και τομή υποχώρων. (Θα βρείτε το κύριο μέρος όσων καλύψαμε στις Ενότητες 3.2, 3.3  του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις έκτης εβδομάδας

 

7

11.11.19-12.11.19

Εύρεση βάση για τη τομή δυο διανυσματικών χώρων. Αν V_1=S(X_1) , V_2=S(X_2) τότε V+1+V_2=S(X_1 \cup X_2). Ένας διανυσματικός χώρος πάντα έχει μία βάση. Η βάση είναι ένα σύνολο Χ που έχει την ιδιότητα να παράγει τον διανυσματικό χώρο και έχει την ιδιότητα ότι κανένα γνήσιο υποσύνολό του να μην παράγει τον διανυσματικό χώρο. Όλες οι βάσεις έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείο. Αν Χ είναι βάση τότε ανταλλαγή στοιχείων της βάσης, πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου της βάσης με κάποιο μη μηδενικό στοιχείο του σώματος, πρόσθεση σε ένα στοιχείο της βάση πολλαπλάσιου ενός άλλου στοιχείου της βάση, δίνει μία καινούρια βάση. Η κανονική βάση του Κ^n. Κριτήριο για ένα σύνολο n διανυσμάτων να είναι βάση στο K^n (μη μηδενική ορίζουσα του πίνακα με στήλες τα διανύσματα). Αν ο διανυσματικός χώρος V δεν είναι ο τετριμμένος μηδενικός χώρος, τότε ο V έχει άπειρες διαφορετικές βάσεις.  Αλγόριθμος εύρεσης βάσης για υποχώρο του Κ^n (γράφοντας τα διανύσματα κάθετα). Διατεταγμένη βάση και πίνακας συντεταγμένων. (Θα βρείτε το κύριο μέρος όσων καλύψαμε στις Ενότητες 3.3, 3.4  του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις έβδομης εβδομάδας

 

8

18.11.19-21.11.19

Ευθύ άθροισμα, μοναδικότητα γραφής ως άθροισμα, παραδείγματα πινάκων συντεταγμένων,  το v είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αν και μόνο αν η ίδια σχέση ισχύει και για τους αντίστοιχους πίνακες συντεταγμένων, διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν οι πίνακες συντεταγμένων είναι γραμμικά εξαρτημένοι, διάσταση χώρου γραμμών= διάσταση χώρου στηλών, rank A= rank A^T, αν dim V=n τότε ο V είναι ισόμορφος με τον K^n, εύρεση τομής δύο υποχώρων, τύπος για τη διάσταση του dim(V+U), αν V υποχώρος του U τότε dim V είναι το πολύ dim U, επέκταση βάσης, γραμμικές συναρτήσεις, κριτήρια, παραδείγματα f(0)=0, (Θα βρείτε το κύριο μέρος όσων καλύψαμε στις Ενότητες  3.4, 3.5, 4.1  του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις όγδοης εβδομάδας

 

9

25.11.19-29.11.19

ker f, dim f, παραδείγματα, f: V-->W γραμ. συν. κ-δ.χ. όπου dim V πεπερασμένη. Τότε null (f)+ rank (f)=dim V.   f: V-->W γραμ. συν. κ-δ.χ. όπου dim V, dim W πεπερασμένες, B μία βάση του V, D μία βάση του W, πίνακας A_{DB}^f και C_D(f(v))= A_{DB}^f C_B(v). Πίνακας αλλαγής βάσης. Παραδείγματα. Θα βρείτε το κύριο μέρος όσων καλύψαμε στις Ενότητες  4.1,4.2 και 4.3 (έως την πρόταση 4.3.3) του ηλεκτρονικού βοηθήματος Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος)

 

 

Ασκήσεις ένατης εβδομάδας

 

 

 

 

 

 

Ηλεκτρονικό βιβλίο: Μία Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Χ. Χαραλάμπους, Α. Φωτιάδης, Εκδόσεις Κάλλιπος