Παράδειγμα 2
(Το πρόβλημα των γενεθλίων) Ποια η πιθανότητα ανάμεσα σε k άτομα που βρίσκονται σε μία αίθουσα, δύο τουλάχιστον να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια;
Λύση
Μπορούμε καταρχήν να υποθέσουμε ότι το έτος έχει 365 ημέρες και ότι κάθε ημέρα είναι εξίσου πιθανή ως ημέρα γενεθλίων κάθε ατόμου. Τότε στα k άτομα που βρίσκονται στην αίθουσα αντιστοιχούν k ημερομηνίες γέννησης, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίο δείγμα που επιλέγεται με επανατοποθέτηση από τον πληθυσμό των 365 ημερομηνιών.
Άρα το πρόβλημά μας είναι ειδική περίπτωση του παραδείγματος 1 για n = 365 και ζητούμε την πιθανότητα του γεγονότος
Α = {δύο τουλάχιστον άτομα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα}
Θα είναι επομένως
Αν συμβολίσουμε pk την πιθανότητα του Α για δοσμένο k, και με qk=1-pk την πιθανότητα του συμπληρωματικού γεγονότος, δηλαδή του γεγονότος όλοι να γεννήθηκαν σε διαφορετικές ημερομηνίες.
Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι ακριβείς πιθανότητες qk, pk για διαφορετικές τιμές του k.
|
n |
qn |
pn |
|
5 10 15 20 22 23 24 30 40 50 65 |
0,973 0,883 0,747 0,589 0,524 0,493 0,462 0,294 0,109 0,030 0,002 |
0,027 0,117 0,253 0,411 0,476 0,507 0,538 0,706 0,891 0,970 0,998 |
Από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι αν k=23 τότε P(A)>0.5, ενώ αν k=22 είναι P(A)<0.5.
Συμφέρει επομένως να στοιχηματίσουμε ότι σε μία συνήθη σχολική τάξη, που έχει 23 ή περισσότερους μαθητές, δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Διαισθητικά θα περιμέναμε αυτό να συμβεί σε πολύ μεγαλύτερα πλήθη ανθρώπων.
Παρατηρείστε ακόμη ότι αν έχουμε περισσότερα από 65 άτομα η ζητούμενη πιθανότητα γίνεται περίπου βεβαιότητα.