Κλασική πιθανότητα
Πολλά πειράματα τύχης, ιδιαίτερα δε αυτά που αφορούν τυχερά παιχνίδια, έχουν, λόγω συμμετρίας και ομοιογένειας των υλικών που χρησιμοποιούνται, την ιδιότητα όλα τα απλά ενδεχόμενα κατά την εκτέλεσή τους να έχουν τις ίδιες ευκαιρίες να εμφανιστούν. Είναι δηλαδή σύμφωνο με την κοινή λογική ότι στα πειράματα αυτά κανένα από τα απλά ενδεχόμενα δεν έχει πλεονέκτημα έναντι των άλλων. Τέτοια πειράματα τύχης είναι π.χ. τα:
α. Η ρίψη ενός (ή περισσότερων) κανονικού ζαριού ή νομίσματος.
β. Η επιλογή ενός (ή περισσότερων) χαρτιού από μία καλά ανακατεμένη τράπουλα.
γ. Η περιστροφή μιας ομογενούς ρουλέττας.
δ. Η παρατήρηση του φύλου των παιδιών μιας οικογένειας.
ε. Η παρατήρηση της ημέρας της εβδομάδας ή της ημερομηνίας στην οποία έχει ένα άτομο, διαλεγμένο στην τύχη, γενέθλια
Η παρατήρηση αυτής της ιδιότητας οδήγησε τον De Moivre (1711) στον ορισμό της κλασικής πιθανότητας.
Σε πειράματα όπου το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων ή απλών γεγονότων (outcomes) είναι πεπερασμένο και όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, τότε η πιθανότητα (probabi1ity) πραγματοποίησης ενός γεγονότος ισούται με το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών για την πραγματοποίηση του γεγονότος αποτελεσμάτων, προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.
Τόσο το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του πειράματος για το γεγονός που μας ενδιαφέρει, όσο και το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων υπολογίζονται πριν την εκτέλεση του πειράματος.
Ώστε αν Ω είναι ο δειγματοχώρος του πειράματος που αποτελείται από Ν ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και αν το γεγονός Α περιέχει Ν(Α) από αυτά, τότε η πιθανότητα Ρ(Α) θα ισούται με:
Η συνθήκη του ισοπίθανου των δυνατών αποτελεσμάτων είναι σημαντική στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας και συνάμα δίνει το μέτρο της αδυναμίας αυτού του ορισμού. Πράγματι σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να αποφανθούμε αν υπάρχει συμμετρία που να εξασφαλίζει το ισοπίθανο. Εξάλλου και στις απλές περιπτώσεις, όπως αυτή της ρίψης ενός ζαριού, το ισοπίθανο απαιτεί από το ζάρι μία κατασκευή με τελείως επίπεδες έδρες και με ομοιόμορφη κατανομή του βάρους του ζαριού.
Στην πράξη, όπου πολύ μικρές διαφορές, θεωρούνται αμελητέες, το ισοπίθανο εξασφαλίζεται με την επίκληση της αρχής του μη επαρκούς λόγου (Ρrinciple of insufficient reason). Κατά την αρχή αυτή, τα απλά ενδεχόμενα κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης είναι ισοπίθανα (equally likely), εκτός αν υπάρχουν λόγοι περί του αντιθέτου. Παλαιότερα η υπόθεση του ισοπίθανου για τα διαφορετικά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ήταν περισσότερο συχνή απ' ότι είναι σήμερα και διατυπωνόταν συνήθως άκριτα και χωρίς κανένα έλεγχο. Σήμερα οι πειραματιστές ελέγχουν τα πειράματά τους με την εκτέλεση σειράς πραγματικών (πιλοτικών) ή ιδεατών (με προσομοίωση) πειραμάτων, που αποκαλύπτουν αν υπάρχει ή όχι επαρκής λόγος να μην θεωρούνται ισοπίθανα τα απλά ενδεχόμενα.
Εξάλλου η παραδοχή του ισοπίθανου στις πιθανότητες είναι αντίστοιχη με την παραδοχή της ύπαρξης σημείου και ευθείας στη Γεωμετρία.
Η συστηματοποίηση του λογισμού των πιθανοτήτων με βάση τον κλασικό ορισμό οφείλεται στον Laplace (1812). Οι βασικές ιδιότητες των πιθανοτήτων, οι οποίες στη συνέχεια οδήγησαν στην αξιωματική τους θεμελίωση είναι οι εξής:
Έστω Ω ένας δειγματοχώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και Ρ(Α) η κλασική πιθανότητα που ορίζεται όπως πιο πάνω στα γεγονότα Α, που είναι υποσύνολα του Ω. Η συνολοσυνάρτηση Ρ(.) έχει τις ιδιότητες:
(Ρ1): Ρ(Α)≥0 για κάθε γεγονός Α
(Ρ2): Ρ(Ω) = 1
(Ρ3): Ρ(Α+Β) = Ρ(Α)+Ρ(Β), για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους γεγονότα Α και Β.
Οι ιδιότητες (Ρ1) και (Ρ2) προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό. Για την ιδιότητα (Ρ3), που είναι γνωστή ως απλά προσθετική ιδιότητα (simply additive law), αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν υπάρχουν Ν(Α)=κ ευνοϊκοί τρόποι για την πραγματοποίηση του γεγονότος Α και Ν(Β)=λ τρόποι για την πραγματοποίηση του Β τότε οι κ+λ τρόποι είναι μεταξύ τους διαφορετικοί, διότι αλλιώς τα Α και Β δεν θα ήταν ασυμβίβαστα. Θα υπάρχουν επομένως Ν(Α+Β) = κ+λ = Ν(Α)+Ν(Β) τρόποι για την πραγματοποίηση της ένωσης Α+Β, πράγμα που αποδεικνύει την (Ρ3).
Με απλή επαγωγή η (Ρ3) επεκτείνεται και για οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος ασυμβίβαστων ανά δύο γεγονότων. Ισχύει δηλ.
(Ρ3)': Ρ(Α1+Α2+ ... +Αn) = Ρ(Α1)+Ρ(Α2)+ ... +Ρ(Αn),
όπου Α1, Α2, ... , Αn ασυμβίβαστα μεταξύ τους ανά δύο δηλ. AiAj=0, i¹j, i, j = 1,2, ... , n.
Παράδειγμα 1. Ρίχνουμε δύο κανονικά ζάρια. Να βρεθούν οι πιθανότητες των γεγονότων Α, Β και Γ, όπου: Α = {εμφανίζεται ακριβώς ένα εξάρι} Β = {το άθροισμα των ενδείξεων των ζαριών είναι 10} Γ = {το ένα ζάρι φέρνει τουλάχιστον 5, ενώ το άλλο φέρνει άρτιο}.
Παράδειγμα 2. Ρίχνουμε δύο κανονικά ζάρια και καταγράφουμε το άθροισμα των ενδείξεων. Να βρεθεί η πιθανότητα κάθε δυνατού αθροίσματος. Να γίνει το ίδιο για την απόλυτη διαφορά των ενδείξεων.