Τα παράδοξα του Chevalier de Meré

O Chevalier de Meré (1607-1684), γάλλος ευγενής και διάσημος παίκτης τυχερών παιχνιδιών στα μέσα του 17ου αιώνα, στοιχημάτιζε στο ότι θα φέρει τουλάχιστον ένα 6 σε τέσσερις ζαριές με ένα ζάρι και κατά κανόνα κέρδιζε. Μέσα στις προκλήσεις των τζογαδόρων της εποχής σκέφτηκε και έναν άλλο συνδυασμό για να κερδίζει: να στοιχηματίσει στο ότι θα φέρει τουλάχιστον δύο εξάρια (6,6) σε 24 ζαριές με δύο ζάρια. Και πίστευε ότι θα είχε την ίδια επιτυχία με την προηγούμενη, γιατί πίστευε ότι ο λόγος 4 προς 6 (ο αριθμός των εδρών του ζαριού) είναι ίσος με το λόγο του 24 προς 36 (ο αριθμός των δυνατών συνδυασμών των εδρών 2 ζαριών). Το κακό είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση έχανε. Τότε έσπευσε να συμβουλευτεί τον Pascal.

Το παράδοξο μπορεί να θεωρηθεί ως τέτοιο κάτω από την ισχύ ενός "νόμου" που είναι γνωστός ως ο παλιός νόμος των παικτών (βλέπε τη μελέτη του W.Weaver στο βιβλίο του "Lady Luck, the theory of probability. Anchor Books, Doubleday & Combany, Inc. Garden City, New York, 1963, σελ. 115-123")

Ένα άλλο παράδοξο του Chevαlier de Mere. Ο de Mere συνήθιζε να παίζει με τρία ζάρια ποντάροντας εναλλακτικά στο άθροισμα 11 ή 12 γιατί πίστευε ότι πρόκειται για ισοπίθανες περιπτώσεις.

Πράγματι ο de Mere υπολόγιζε ότι υπάρχουν έξι τρόποι για εμφάνιση του 11, οι:

6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3

και άλλοι έξι για εμφάνιση του 12. οι:

6-5-1. 6-4-2, 6, -3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4.

Στην πράξη όμως διαπίστωσε ότι το 11 έρχεται συχνότερα από το 12, πράγμα που το θεώρησε παράδοξο. Έθεσε το πρόβλημα στον Pascal. ο οποίος έλυσε σωστά το πρόβλημα καθορίζοντας ως σύνολο ισοπίθανων δυνατών περιπτώσεων (δειγματοχώρο) το σύνολο των 6³=216 διατεταγμένων τριάδων

(α, β, γ), α, β, γ = 1, 2, 3, 4, 5 ή 6,

και όχι τις 56 μη διατεταγμένες τριάδες που σχηματίζονται με τα τρία ζάρια. Ο Pascal παρατήρησε ότι ο τρόπος 6-4-1 πετυχαίνεται με έξι διατεταγμένες τριάδες, τις (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1.4,6). Όμοια ο τρόπος 5-5-1 πετυχαίνεται με τρεις διατεταγμένες τριάδες, τις (5,5,1), (5,1,5), (1,5,5), ενώ ο τρόπος 4-4-4 πετυχαίνεται με μία μοναδική τριάδα. Μετρώντας τώρα όλες τις διατεταγμένες τριάδες που δίνουν 11 ή 12 και θέτοντας Ρ(11) ή Ρ(12) την αντίστοιχη πιθανότητα βρίσκουμε: Ρ(11) =27/216 και  Ρ(12) = 25/216.

Άρα Ρ(11): Ρ(12) = 27: 25. που σημαίνει ότι το 11 εμφανίζεται συχνότερα από το 12, όπως σωστά παρατήρησε ο de Mere.