Αν ο ακέραιος $d$ διαιρεί τον $a$, τότε και ο ακέραιος $-d$ θα διαιρεί τον $a$. Έτσι, στο εξής θα μιλάμε για θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου, εφόσον ό,τι αναφέρουμε για τους θετικούς θα ισχύει και για τους αρνητικούς διαιρέτες.

Ένας ακέραιος $k$ λέγεται κοινός διαιρέτης των $a$ και $b$, όταν ο $k$ διαιρεί ταυτόχρονα και τους δύο ακεραίους $a$ και $b$. Ένας από τους κοινούς διαιρέτες παίζει ιδιαίτερο ρόλο.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Έστω $a$ και $b$ τυχόντες ακέραιοι. Ένας θετικός ακέραιος $d$ λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης των $a$ και $b$ αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες.

(i) $d \mid a$ και $d \mid b$,
(ii) αν για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο $d^{\prime}$ ισχύει $d^{\prime} \mid a$ και $d^{\prime} \mid b$, τότε θα ισχύει και $d^{\prime} \mid d$.

Η πρώτη συνθήκη του ορισμού αυτού επιβάλλει το θετικό ακέραιο $d$ σαν ένας κοινός διαιρέτης των $a$ και $b$. Η δεύτερη συνθήκη απαιτεί το $d$ να διαιρείται από κάθε άλλο κοινό διαιρέτη, οπότε θα είναι ο μεγαλύτερος από όλους. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $a$ και $b$ συμβολίζεται με $(α, β)$ ή $\text{ΜΚΔ}(a, b)$.
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης υπάρχει για οποιουσδήποτε ακεραίους $a$ και $b$, και μάλιστα μπορεί να γραφεί στη μορφή

$d = ax + by$,

για κάποιους ακεραίους $x$ και $y$. Πρέπει, όμως, να τονίσουμε ότι οι ακέραιοι $x$ και $y$ δεν είναι μοναδικοί. Για παράδειγμα, εύκολα διαπιστώνεται ότι αν ισχύει $d = ax + by$, τότε θα ισχύει και η σχέση

\[ d = a \left(x + \frac{b}{d} u \right) + b \left(y - \frac{a}{d} u \right) \] για κάθε ακέραιο $u$.
Η γενίκευση από δύο σε περισσότερους ακεραίους είναι σχετικά απλή.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Ένας θετικός ακέραιος $d$ λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης των ακεραίων $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$, και συμβολίζεται με $d = a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$, αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες.

(i) $d \mid a_{1}, d \mid a_{2}, \dots, d \mid a_{n}$, και
(ii) αν για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο $d^{\prime}$ ισχύουν οι σχέσεις $d^{\prime} \mid a_{1}, d^{\prime} \mid a_{2}, \dots, d^{\prime} \mid a_{n}$, τότε θα ισχύει και $d^{\prime} \mid d$.

Όπως και στην περίπτωση δύο ακεραίων, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης $d$ οσωνδήποτε ακεραίων $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ υπάρχει, είναι μοναδικός, και μπορεί να γραφεί στη μορφή

\[ d = a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+ \cdots + a_{n} x_{n} \] για κάποιους ακεραίους $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, όμως και πάλι η παράσταση αυτή δεν είναι μοναδική.

Αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης κάποιων ακεραίων $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ πάρει τη μικρότερη δυνατή τιμή, δηλαδή γίνει $1$, λέμε ότι οι ακέραιοι $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Είναι σχεδόν προφανές ότι, οι ακέραιοι $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους αν και μόνον αν υπάρχουν ακέραιοι $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση

\[ a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+ \cdots + a_{n} x_{n} =1 \]
Για το ΜΚΔ ισχύουν

Αν $a$ και $b$ είναι ακέραιοι, όχι ταυτόχρονα μηδέν, και $d = (a, b)$, τότε θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις,

(i) $\left( \frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right) = 1$
(ii) $(a, b t) = (a, b)$, για κάθε $t \in \mathbb{Z}$
(iii) $(m a, m b) = m(a, b)$, για κάθε ακέραιο $m > 0$

Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει

$a \mid bc$ και $(a, b) = 1 \Rightarrow a \mid c$

Παράδειγμα

Η προηγούμενη συνεπαγωγή δεν ισχύει αν οι ακέραιοι $a$ και $b$ δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Πράγματι, αν αγνοήσουμε την υπόθεση αυτή, ενδέχεται να καταλήξουμε σε συμπεράσματα, τα οποία δεν ισχύουν. Για παράδειγμα, από τη σχέση $12 \mid 24 \cdot 1$, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το $12$ διαιρεί το $1$, διότι οι ακέραιοι $12$ και $24$ δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επίσης, ενώ ο ακέραιος $6$ διαιρεί το γινόμενο $2 \cdot 3$, εντούτοις ο $6$ δεν διαιρεί ούτε τον ακέραιο $2$, ούτε τον ακέραιο $3$.

Με ανάλογο τρόπο μπορεί να οριστεί και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ακεραίων.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο

Ένας θετικός ακέραιος $m$ λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των ακεραίων $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$, και συμβολίζεται με $m = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$, αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες.

(i) $a_{1} \mid m, a_{2} \mid m,\dots, a_{n} \mid m$, και
(ii) αν για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο $m^{\prime}$ ισχύουν οι σχέσεις $a_{1} \mid m^{\prime}, a_{2} \mid m^{\prime}, \dots, a_{n} \mid m^{\prime}$, τότε θα ισχύει και $m \mid m^{\prime}$.

Από την πρώτη συνθήκη, ο ακέραιος $m$ είναι ένα κοινό πολλαπλάσιο των $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$, ενώ η δεύτερη συνθήκη περιορίζει τον $m$ να είναι ο μικότερος από όλα τα κοινά πολλαπλάσια.

Όπως και στην περίπτωση του $\text{ΜΚΔ}$ το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ακεραίων υπάρχει πάντοτε, και είναι μοναδικό.

Για το ΕΚΠ ισχύουν

Αν $a$ και $b$ είναι τυχόντες ακέραιοι, και $m$ είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις

(i) $[ma, mb] = m[a, b]$
(ii) $[a, b](a, b) = |ab|$