Αν $a \ne 0$ και $b$ είναι ακέραιοι, θα λέμε ότι ο $a$ διαιρεί τον $b$ ή ότι ο $b$ διαιρείται από τον $a$, αν υπάρχει ακέραιος $c$, τέτοιος ώστε να ισχύει $b = a \cdot c$. Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι ο $a$ είναι διαιρέτης ή παράγοντας του $b$.
Αν ο ακέραιος $a$ διαιρεί τον $b$, θα γράφουμε $a \mid b$, ενώ αν ο ακέραιος $a$ δεν διαιρεί τον $b$, θα γράφουμε $a \nmid b$.

Η διαιρετότητα ακεραίων ικανοποιεί τις παρακάτω βασικές ιδιότητες, όπου $a, b, c, m$ και $n$ είναι ακέραιοι αριθμοί.

Βασικές Ιδιότητες Διαιρετότητας

(i)		$a \mid a$ και $a \mid 0$
(ii)		$1 \mid a$ και $-1 \mid a$
(iii)		$a \mid \pm 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$
(iv)		$a \mid b$ και $b \mid c \Rightarrow a \mid c$
(v)		$a \mid b \Rightarrow a \mid bc$, για κάθε $c$
(vi)		$ac \mid bc$ και $c \ne 0 \Rightarrow a \mid b$
(vii)		$a \mid m$ και $b \mid n \Rightarrow ab \mid mn$
(viii)		$a \mid b$ και $a \mid c \Rightarrow a \mid mb + nc$
(ix)		$a \mid b$ και $b \mid a \Rightarrow a = \pm b$
(x)		$a \mid b \Rightarrow ac \mid bc$, για κάθε $c$

Το επόμενο παράδειγμα δείχνει ότι οι σχέσεις (v), (vii) και (viii) δεν ισχύουν αντίστροφα.

Παράδειγμα

Για τη σχέση (v) έχουμε,

$15 \mid 5 \cdot 6$, αλλά $15 \nmid 5$, και $15 \nmid 6$.

Για τη σχέση (vii) έχουμε,

$6 \cdot 10 \mid 4\cdot 15$, αλλά $6 \nmid 4, 6 \nmid 15, 10 \nmid 4$, και $10 \nmid 15$.

Όσον αφορά τη σχέση (viii) έχουμε,

$6 \mid 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4$, αλλά $6 \nmid 2, 6 \nmid 3$, και $6 \nmid 4$.

Τέλος, αν $a \mid b \cdot c$ δεν σημαίνει ότι ο $a$ θα διαιρεί το $b$ ή το $c$, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.

$6 \mid 4\cdot 15$, αλλά $6 \nmid 4$, και $6 \nmid 15$.

Εκτός από την τέλεια διαίρεση, υπάρχει και η διαίρεση με υπόλοιπο.

Αν $a$ και $b \ne 0$ είναι δύο ακέραιοι, τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι $\pi$ και $\upsilon$, έτοιοι ώστε να ισχύει

$a = b \pi + \upsilon$, όπου $0 \leqslant \upsilon < |b|$.

Οι ακέραιοι $\pi$ και $\upsilon$ λέγονται πηλίκο και υπόλοιπο, αντίστοιχα, της διαίρεσης του $a$ δια του $b$.

Παράδειγμα

Αν $a$ είναι ένας ακέραιος, και $n > 1$ ένας φυσικός αριθμός, τότε από την Ευκλείδεια διαίρεση θα έχουμε $a = n \cdot k + \upsilon$, όπου $0 \leqslant \upsilon < n$. Επειδή το υπόλοιπο $\upsilon$ είναι ένας από τους φυσικούς αριθμούς $0, 1, 2, \dots, n-1$, ο ακέραιος $a$ μπορεί να γραφεί σε μια από τις παρακάτω μορφές.

$a = n \cdot k$, ή $a = n \cdot k + 1$, ή $a = n \cdot k + 2$, ή $\dots$, ή $a = n \cdot k + (n-1)$.

Για παράδειγμα, κάθε ακέραιος είναι άρτιος ή περιττός, εφόσον κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί στη μορφή $2 \cdot k$ ή $2 \cdot k + 1$.