Η Αλληλογραφία Pascal-Fermat και τα παράδοξα του Chevalier de Mere
|
|
|
Το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος (γενική λύση στο Παρ. 2.13)
Δύο παίκτες Α και Β στοιχημάτισαν βάζοντας από 32 πιστόλια ο καθένας. Συμφώνησαν ότι όποιος κερδίσει πρώτος 3 παρτίδες ενός παιχνιδιού θα πάρει και τα 64 πιστόλια. Όταν το παιχνίδι ήταν 2-1 υπέρ του Α αναγκάστηκαν να σταματήσουν το παιχνίδι και το ερώτημα είναι πως πρέπει να μοιραστούν τα 64 πιστόλια στους δύο παίκτες.
Λύση
Ο Pascal για τη λύση του ερωτήματος υπέθεσε ότι οι δύο παίκτες έχουν την ίδια ικανότητα στο παιχνίδι και φαντάστηκε ότι αν το παιχνίδι παίζονταν ακόμη μία φορά τότε είτε θα κέρδιζε την παρτίδα ο Α κάνοντας το παιχνίδι 3-1, είτε θα την κέρδιζε ο Β κάνοντας το παιχνίδι 2-2. Σχηματικά έχουμε το παρακάτω
Στη μία περίπτωση ο Α θα έπαιρνε 64 πιστόλια, στην άλλη 32, άρα είναι λογικό να πάρει το μέσο όρο δηλαδή 48 πιστόλια. Όμοια στη μία περίπτωση ο Β θα έπαιρνε 0 πιστόλια, στην άλλη 32, άρα είναι λογικό να πάρει το μέσο όρο δηλαδή 16 πιστόλια.
Ακολούθησε μία αλληλογραφία των Pascal και Fermat στην οποία έλυσαν το γενικότερο πρόβλημα διαίρεσης του στοιχήματος, που διατυπώνεται ως εξής
ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Πως να μοιραστεί το στοίχημα σε παιχνίδι που διακόπηκε όταν ο παίκτης Α θέλει ακόμη m παρτίδες να κερδίσει το παιχνίδι και ο Β θέλει ακόμη n παρτίδες;
Ειδική περίπτωση: Δύο φίλοι στοιχημάτισαν
100
στο τάβλι που τελειώνει σε 7 παρτίδες. Αναγκάζονται να
σταματήσουν όταν το σκορ είναι 4-5 (δηλ. ο Α θέλει
ακόμη m=3 παρτίδες και ο Β θέλει ακόμη n=2 παρτίδες ). Από πόσα θα
πρέπει να πάρουν οι δύο φίλοι;
Λύση
Από το παρακάτω σχήμα διαπιστώνεται ότι αν οι δύο παίκτες έπαιζαν άλλες 4 παρτίδες (που στη γενική περίπτωση ισοδυναμεί με το m+n-1) τότε το παιχνίδι θα είχε τελειώσει με νίκη είτε του ενός είτε του άλλου.
Παρατηρήστε ότι οι 4 παρτίδες μπορούν να ολοκληρωθούν με 16 διαφορετικούς τρόπους που θεωρούνται ισοπίθανοι, λόγω της ίδιας δυναμικότητας των δύο παικτών. Στις 5 πρώτες που σημειώθηκαν κερδίζει ο Α, ενώ στις υπόλοιπες 11 κερδίζει ο Β.
Έτσι είναι λογικό να μερίσουμε το στοίχημα σε μέρη ανάλογα των 5:11.
Άρα ο Α θα πάρει 31,25 και ο
Β 68,75.
Αποδείξτε ότι στη γενική περίπτωση το στοίχημα μερίζεται εις μέρη ανάλογα των αριθμών
ή των αριθμών
Σχετικό είναι το τρίγωνο Pascal